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等辺多角形と代数的整数 - フィボナッチ・フリーク
今回は次の面白い定理を証明します. 定理.全ての辺の長さが等しい多角形に対し,その内角を反時計回り... 今回は次の面白い定理を証明します. 定理.全ての辺の長さが等しい多角形に対し,その内角を反時計回りにとする.が全て有理数度ならば,も有理数度である. 証明には次の事実を用います. 補題(Kronecker).代数的整数に対し,その全ての共役元の絶対値が1ならば,は1の冪根である. 証明.の上のモニック最小多項式を]とすると,の次数はの次数以下であり,またの根の絶対値は全て1なので,三角不等式よりの係数の絶対値は二項係数で上から評価される.よっては有限集合であり,その根であるも有限個の値しかとらない. 定理の証明.一般性を失わず辺の長さを1としてよい.番目,番目の頂点がそれぞれに来るように,多角形を複素平面上に配置する.仮定より番目の頂点はいくつかの1の冪根の和として表され,またである.特にはある円分体の代数的整数である.の作用は複素共役と可換なのでの共役元は全て絶対値が1であり,上の補題よ