アイゼンシュタインの定理 | 高校数学の美しい物語

ある素数 ppp が存在して以下の3つの条件を満たすとき，整数係数多項式 f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0f(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​ を（整数係数の範囲でできるとこまで）因数分解すると必ず kkk 次式以上の因数がでてくる。 a0a_0a0​ は ppp の倍数だが p2p^2p2 の倍数でない a1a_1a1​ から ak−1a_{k-1}ak−1​ まで全て ppp の倍数 aka_kak​ は ppp の倍数でない 特に，k=nk=nk=n の場合に3つの条件を満たす式は既約（それ以上因数分解できない）です。 アイゼンシュタインの判定法とも呼ばれます。