ガンマ関数とベータ関数の関係式とその証明

証明 ガンマ関数の定義より， \begin{aligned}\Gamma(x) \Gamma(y) &= \int_0^\infty s^{x-1}e^{-s}\,ds \int_0^\infty t^{y-1}e^{-t}\, dt \\ &=\int_0^\infty\int_0^\infty s^{x-1}t^{y-1}e^{-s-t}\,dsdt. \end{aligned} ここで， s=uv,\, t=u(1-v) と置換積分する。 \{(s,t)\mid s,t\in (0,\infty)\} = \{(uv, u(1-v))\mid u\in(0,\infty), v\in (0,1)\}， \begin{aligned} dsdt &= \left| \det\begin{pmatrix}\partial s/\partial u & \partial s/\partia

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ガンマ関数とベータ関数の関係式に関するスタンダードな証明