変分法 −無限次元空間の臨界点を見出す− - Laborify
こんにちは。高橋 和音 (Kazune Takahashi) と申します。現在は、東京大学大学院 数理科学研究科で特任研究員をしております。この記事では、変分法の概説を試みます。変分法は、微分方程式を考察する代表的な手法です。自己紹介がわりに、どうして変分法を専門にしたのかまず話したいと思います。 私は、大学の数学を勉強し始めてから、積分の世界の素晴らしさに魅了されました。 高校までですと、積分は原始関数を介して求めます。ところが、大学以降に勉強する高度な手法を使うと、例えば原始関数が書けない関数の定積分の正確な値が求まるケースがあります。また、正確な値を求めることができずとも、ある値よりも小さい or 大きいことが分かることが重要である場面も増えてきます。そういう一連の手法が好きになりました。 以下で「汎関数」が出てきますが、変分法で使う汎関数は、関数の積分で書かれます。変分法は、積分を
変分法について入門する - Qiita
0.概要 機械学習の分野では変分ベイズもとい変分推論が多く取り扱われるようになってきている。変分推論の「変分」は、変分法からきており、これを理解しないことには変分推論の式展開も容易に行うことはできない。そこで、まずは変分法から入門していきたい。 1. 変分法 変分法について説明する。 微分法 微分法は、一般的に関数$f(x)$の最適化問題を考える際に、その関数を最小化・最大化するような$x$を求める。これは関数$f(x)$を微分し、導関数$\dfrac{df(x)}{dx}$を0にするような値を探すことである。
物理とか-変分法
0.変分法の使われどころ 大抵のひとが初めて変分法に出会うのは解析力学を学ぶときではないだろうか？解析力学では、だいたい最初に変分法というのをやることが多いだろうが、そこでよくわからなくてつまづくひとも多いだろう。 でも実は変分法というのは、解析力学のためだけに存在しているわけではない。変分法のそもそもの役割は、微分方程式を解くことにあるのだ。そのあたりを頭の片隅においてから勉強すると少し見通しが良くなるかも知れない。(もちろん他の問題にも有用だが。) 1.汎関数 変分法というからには、変分という何かがあるはずだ。 しかし新しい言葉だからといって身構える必要は無い。変分とは微分の発展みたいな計算で、微分が理解できているなら大丈夫。でも逆に言えば、微分が理解できていないなら、変分なんか勉強してもしょうがないってことだ。理解っていうのは計算ができるという意味じゃないのは注意しておく。 変分で主
物理 変分法 - zaudy 's 日記
変分法を勉強している 本当に面白い考えをするのだなあ 物理は面白い
汎関数と変分法について、わかりやすく解説
「関数の関数」と呼ばれる汎関数と、汎関数を最大化（最小化）する変分法について解説します。 汎関数は通常の「関数-引数」の関係を、「汎関数-関数」の関係にそのまま置き換えることで簡単に理解できます。 同様に変分法も、極値を極値関数に置き換えたものと大差ありません。 汎関数の定義と例あえて難しく、厳密に定義するのちほど噛み砕いて説明しますが、いちおう厳密（な感じ）に汎関数を定義しておきます。 まず、関数の集合のことを関数族といいます。 そのうえで、汎関数は以下のように定義されます。 \({\bf I}\) を関数族とし、おのおのの関数 \(y \in {\bf I}\) に１つの数値 \(I[y]\) が対応しているとき、 この対応を与える \(I\) を汎関数という。 なお、関数と区別するために、汎関数 \(I\) の括弧には \([\quad]\) を使用します。 数式を使ったイメージ上記
変分法 - 大人になってからの再学習
変分法とは、値を最小とする最適な関数を求める方法。 通常の最適化問題は、 の値を最小とするxの値は？ のように、値を最小とする最適な変数を求めるけど、変分法では最適な関数（式の形）を求めることが目的になる。 例としてよく挙げられる問題に 適当な2点をボールが最も早く転がり抜ける曲線はどのような式（関数）で与えられるか という「最速降下曲線」を求めるものがある。 （直線や円弧、放物線のような単純な曲線ではない） この問題は「最適な関数を求めよ」という問題であって、高校数学では出てこないタイプの問題なので大学に入ったばかりのときには何をどうしていいのか、さっぱりわからない。 このような問題を解く方法として変分法がある。 ただし、どのような関数も変分法で解が求まるわけではない。 変分法とは、変数xと、その関数 y(x)、およびその導関数y'(x)によって表される次の積分 の値を極小にするような関
4次元変分法（データ同化） - Qiita
概要 複雑な（またはカオス的な）偏微分方程式を解くと、初期値の設定によって予測結果が大きく異なる場合があります。昔から気象などの分野では、天気予報の精度を上げるため、観測データを使い、データ同化の手法（変分法）を用いて数値モデルの修正を行なっています。 近年では、IoTやビックデータ活用などによりデータ同化が注目を集めています。データ同化は、大きく２つの手法があり、カルマンフィルタと変分法があります。 変分法の特徴は、数値モデルが観測結果と一致するように、初期値や境界条件を修正する方法です。今回の記事では、4次元変分法について紹介します。 前回の記事では、3次元変分法について書きました。 ４次元変分法と３次元変分法との違いは、方程式が時間発展するかしないかの違いです。 ４次元変分法の評価関数の定義と勾配計算 時間発展するモデルを以下のように定義する。
Unintelligent Intellect on Twitter: "昨日ちょむー(@super531441)に話してた変分法やら解析力学やらの詰まりどころ(私が初修だったときにつまづいたところなど)を今の私ならどう答えるかまとめてみた。まだ執筆途中だけどこんな感じ。ミスとか根本的な間違いが見つかっ… https://t.co/aGCyzVmuA3"
昨日ちょむー(@super531441)に話してた変分法やら解析力学やらの詰まりどころ(私が初修だったときにつまづいたところなど)を今の私ならどう答えるかまとめてみた。まだ執筆途中だけどこんな感じ。ミスとか根本的な間違いが見つかっ… https://t.co/aGCyzVmuA3
馬場敬之「解析力学」の変分法の記述誤り
積分定数 @sekibunnteisuu #物理 #解析力学 #変分 友人の子どもが大学で物理を専攻していて、それに触発されて友人も解析力学を勉強中。で私も勉強し始めた。友人が持っている本がこれがamazon.co.jp/%E3%82%B9%E3%8… 2016-06-27 23:50:30 積分定数 @sekibunnteisuu #物理 #解析力学 #変分 で、友人はオイラー方程式で、ｙ’とｙは独立じゃないのにあたかも独立変数のように扱うのはなぜなのか？という。この本の説明だとよく分からないという。 pic.twitter.com/N9jfFwMPmy 2016-06-27 23:55:02
"その2"に引き続き，変分法の計算例のお話です 【最速降下曲線】 重力のみが作用する仮定で，任意の2点A, B（ポテンシャルはA>B）を考えます 物体がA点を速度0で出発してからB点に達するまでの所要時間が最短となるのはどんな曲線か？という有名な問題です 答えは直線や円弧ではありません（'A`) 実際に変分法を使って計算してみましょう brachistochrone curve.wxm y : 曲線 y' : dy/dx ds : 線素（line element）の長さ g, m : 重力加速度と物体の質量 T : 所要時間 %o2にてyとy'がxに依存することを宣言します（画面出力は省略） 曲線yの線素dsの長さを%o3式に示します dsを走過する時間dtの定義を%o4式に示します 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの関係を%o5式に示します 上式を速度vについて解いた結果でdtを書
また間が空いてしまいましたが, 散々引っ張ってきた定理の証明をやっていきましょう. Theorem3(変分法の基本原理) を開集合, とする. このとき が任意の に対して \begin{eqnarray} \int_\Omega f(x)\varphi(x)\ dx = 0 \end{eqnarray} が成り立つならば, である. Proof. ・Step1 ( の場合を示せば十分なこと) まず, として集合 を \begin{eqnarray} \Omega_n := \{x \in \Omega\ ;\ d(x,\Omega^C)\gt 1/n,\ |x|\lt n \} \end{eqnarray} と定める. ただし, (点と集合の距離)である. まず定義から である. また, 任意の に対して であったから, 仮定より である. 各 上で となることが言えれば題意を示せるか
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変分法 その3 - Maximaでこうぞうりきがく
ようやく示す変分法の基本原理 - シャンのいろいろ2