位相空間の連続写像や測度空間の可測関数が「逆」写像を使って定義される理由 - conceptualization

当日投稿でもう一つ adventar.org の記事を書いてみました。 突然ですが、数学を勉強してると、以下のような疑問に突き当たるのは僕だけでしょうか？ 位相空間における連続写像が「逆」写像で定義されるのはなぜ？ 測度空間における可測関数が「逆」写像で定義されるのはなぜ？ これは分かってしまえばとても簡単なので、説明します。 結論をいうと、逆写像は集合の演算（AND, OR = 共通部分、合併）を保つけど、写像（を集合関数と見たもの）は保たない、からです。 それぞれ見ていきましょう。 写像と集合演算 例えば集合をX,YとしてXからYへの写像Fがあるとします。 Xの部分集合X1,X2に対してAND,ORしたものと、それらのFによる像 F(X1),F(X2) (=Yの部分集合) に対してAND,ORしたものを比較してみましょう。 F(X1 and X2) ⊆ F(X1) and F(X2)