変分法 −無限次元空間の臨界点を見出す− - Laborify
こんにちは。高橋 和音 (Kazune Takahashi) と申します。現在は、東京大学大学院 数理科学研究科で特任研究員をしております。この記事では、変分法の概説を試みます。変分法は、微分方程式を考察する代表的な手法です。自己紹介がわりに、どうして変分法を専門にしたのかまず話したいと思います。 私は、大学の数学を勉強し始めてから、積分の世界の素晴らしさに魅了されました。 高校までですと、積分は原始関数を介して求めます。ところが、大学以降に勉強する高度な手法を使うと、例えば原始関数が書けない関数の定積分の正確な値が求まるケースがあります。また、正確な値を求めることができずとも、ある値よりも小さい or 大きいことが分かることが重要である場面も増えてきます。そういう一連の手法が好きになりました。 以下で「汎関数」が出てきますが、変分法で使う汎関数は、関数の積分で書かれます。変分法は、積分を
変分法1 [物理のかぎしっぽ]
変分法という数学の分野があります．これは他の数学の分野と少し毛色の違った分野です．変分法はそれ自体で大変興味深い分野なのですが，『変分法』という独立した題目の講義がある大学は大変少ないようで，大抵は解析力学の授業で少し触れられるだけのようです． この記事は，変分法入門という位置づけですので，読者の方々に，変分法とは何なのかを理解して頂くことを当面の目標とします．物理学の中で変分法がどのように利用されるのか，というような話題には触れません．変分問題を解くためによく使うオイラー方程式という方程式を導くところまでを，この記事でカバーします． 微分法に関する初等的な知識があると，読みやすいと思います． 変分法って何だろう？ 関数 の最大・最小問題を考えるとき，一つの方法は，関数を微分し，その導関数 の値を調べるというものです．導関数を零にするような値 に対して，関数は最大値・最小値・変曲点のいずれ
変分法をごまかさずに変分ベイズの説明をする - StatModeling Memorandum
StanでADVIが使えるようになったので、変分ベイズの基礎は抑えておきたいなぁと思って最近学んでいました。自分向けのメモとして残します。 対数周辺尤度・変分下限・KL情報量 目的は事後分布の最もよい近似となるを求めることです。にはあとで因子分解可能という条件を入れます。 イエンセンの不等式を使って、対数周辺尤度を下から評価すると、 を変分下限と呼びます。任意の関数の関数です。対数周辺尤度はevidenceとも呼ばれるため、変分下限はevidence lower bound、略してELBOとも呼ばれます。対数周辺尤度と変分下限の差は、 となります。これはと事後分布のKL情報量（Kullback-Leiblerdivergence）です。対数周辺尤度がにはよらない、データのみから決まる定数であることを考えると、事後分布の最もよい近似となるを求めることは、変分下限を最大化することに等価になりま
変分法・変分学を学ぶオンライン教科書PDF。物理数学や量子化学に役立つ関数解析的アプローチ - 主に言語とシステム開発に関して
講義ノートの目次へ 変分法・変分学を学ぶための，講義ノートPDF。 変分法は物理数学の必須テーマで， 「汎関数の停留点，つまり最適な関数や，最適な曲線を見つける」 「オイラー・ラグランジュ方程式を導出する」 といったテーマに役立つツールだ。 この考え方を応用した「変分学的なアプローチ」も，数理物理のあちこちに顔を出す。 変分法は「関数空間の中から，最適な関数を見つけ出す」という作業なので，関数解析学の重要な成果の一つである。 関数解析のノートはこちらを参照。 また変分法が応用される分野としては，解析力学のノート，量子化学のノートを参照。 （１） 変分法の入門 （２） 変分法的なアプローチの，工学的な応用 （３） 関数解析の視点での変分学 （４） 変分学の参考書 （１）変分法の入門 物理数学の１ジャンル・解析力学のツールとしての変分法。 まず幾何学的な観点で，変分法の初歩的な入門： 変分法の
変分法 - Wikipedia
解析学の一分野、変分法（へんぶんほう、英: calculus of variations, variational calculus; 変分解析学）は、汎函数（函数の集合から実数への写像）の最大化や最小化を扱う。汎函数はしばしば函数とその導函数を含む定積分として表される。この分野の主な興味の対象は、与えられた汎函数を最大・最小とするような「極値」函数、あるいは汎函数の変化率を零とする「停留」函数である。 そのような問題のもっとも単純な例は、二点を結ぶ最短の曲線を求める問題である。何の制約も無ければ二点を結ぶ直線が明らかにその解を与えるが、例えば空間上の特定の曲面上にある曲線という制約が与えられていれば、解はそれほど明らかではないし、複数の解が存在し得る。この問題の解は測地線と総称される。関連する話題としてフェルマーの原理は「光は二点を結ぶ最短の光学的長さを持つ経路を通る。ただし光学的長さは
変分法1 [物理のかぎしっぽ]
変分法という数学の分野があります．これは他の数学の分野と少し毛色の違った分野です．変分法はそれ自体で大変興味深い分野なのですが，『変分法』という独立した題目の講義がある大学は大変少ないようで，大抵は解析力学の授業で少し触れられるだけのようです． この記事は，変分法入門という位置づけですので，読者の方々に，変分法とは何なのかを理解して頂くことを当面の目標とします．物理学の中で変分法がどのように利用されるのか，というような話題には触れません．変分問題を解くためによく使うオイラー方程式という方程式を導くところまでを，この記事でカバーします． 微分法に関する初等的な知識があると，読みやすいと思います． 変分法って何だろう？ 関数 の最大・最小問題を考えるとき，一つの方法は，関数を微分し，その導関数 の値を調べるというものです．導関数を零にするような値 に対して，関数は最大値・最小値・変曲点のいずれ
物理の基礎理論の多く特に素粒子の分野では、変分法を用いて解析される。変分法自体は100年以上の歴史をもっていて、相対論、量子論以前の古典物理学においては、一応完成されている。 僕は変分法について何度かエントリーを書いてるが、変分法自体に何か物理的な意味があるとは思ってなく、物理の数学的な体現の一つの方法に過ぎないと考えている。 変分法が体現の一つなら、他にも体現の方法があるべきだが、残念ながら変分法ほど強力な体現方法を知らない。ただ、近年の情報科学の進歩が、情報と物理の同一視を感覚として受け入れられるものにし、情報という観点から物理学が構成しなおされるのではないかと思っている。量子情報の研究はすごく流行っているよね。 ここで「感覚として受け入れられる」という言葉を使ったが、僕はこれを重要なことだと思っている。 人間の論理的な思考は心理的要素に影響されやすく、価値観で如何様にも変わる。科学史
変分法について入門する - Qiita
0.概要 機械学習の分野では変分ベイズもとい変分推論が多く取り扱われるようになってきている。変分推論の「変分」は、変分法からきており、これを理解しないことには変分推論の式展開も容易に行うことはできない。そこで、まずは変分法から入門していきたい。 1. 変分法 変分法について説明する。 微分法 微分法は、一般的に関数$f(x)$の最適化問題を考える際に、その関数を最小化・最大化するような$x$を求める。これは関数$f(x)$を微分し、導関数$\dfrac{df(x)}{dx}$を0にするような値を探すことである。
変分法でオイラー・ラグランジュ方程式を出すときに端点の条件は必要か？
Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16 疑問：オイラー・ラグランジュ方程式を変分法で導くとき，部分積分をして端点での変分がゼロになるという条件をつかうが，これって必要？ （続く） 2014-07-01 17:01:20 Tadas Nakamura 中村匡 @gandhara16 （続き）とえば，hooktail.sub.jp/analytic/verif… の式６の第一項だが，t_1< t <t_2を満たす t についてδq(t)はδq(t_1)，δq(t_2)と独立だから，t の近傍では第一項は定数になって，（続く） 2014-07-01 17:05:08
『最適化と変分法』 - 湯どうふ
基礎系 数学 最適化と変分法 (東京大学工学教程) 作者: 寒野善博,土谷隆,東京大学工学教程編纂委員会 出版社/メーカー: 丸善出版 発売日: 2014/10/22 メディア: 単行本（ソフトカバー） この商品を含むブログを見る 『最適化と変分法』は丸善出版から出ている、最適化数学と変分法についての教科書である。「東京大学工学教程」シリーズに属している。 結論から言うと、以下の点でとてもわかりやすいので是非おすすめしたい。 図がたくさんあってわかりやすい 章の展開がいい 説明の深さがほどよい 1．図がたくさんあってわかりやすい この本は、最適化をイメージしやすいように、図をふんだんに使っている。私はあまり数学が得意ではないので、数式を見ていても途中から何の話か分からなくなり、すぐに頭が追い付かなくなってしまう。特に、最適化の基本的な理論を理解する上では、単純な具体例による説明が極めて有効
変分法2 [物理のかぎしっぽ]
変分法1 では，関数 によって決まる汎関数 の停留値問題を解くためには，オイラー方程式を解けば良いのだということを勉強しました． ここでは，オイラー方程式の，さらに発展的な形について勉強します．もし，なんだかちょっと難しいぞ，と感じる人は，もう一度 変分法1 を復習して下さい． 色々な関数形が出てきますが，その全てを理解する必要はありません．全部読むのは長くて大変ですから，必要なときに必要な部分だけ，この記事を参考書代わりに読んで頂ければ十分だと思います．次のセクションが目次を兼ねています． 色々な関数形 汎関数 を決める関数として， 変分法1 では という形のものしか考えませんでした．しかし，言うまでもなく世の中には，もっと色々な形の関数があります．これよりももっと簡単な形の関数もあれば，もっと複雑なものもあるわけです．次に挙げるような関数に対して，オイラー方程式( 変分法1 で導いたオ
変分法
汎関数は，「関数の関数」であり，はその変数に相当し， 変関数(variable function)と呼ばれる． 数学や物理学における変分問題の例としては， 等周問題(周の長さが一定の曲線で囲まれた領域の面積を最大にする問題) エネルギー原理，ハミルトンの原理など変分原理と称される問題がある． ここで汎関数， の停留値問題を考える．ここで， とおいている． 境界条件として， が規定されているとする． を停留化する関数を と書く． 任意の許容関数(admissible function, 上記の境界条件と必要な微分可能性の条件を満足する関数) は次のように表わせる．
微積分の先にあるもの∼変分法から有限要素法まで∼ 車のフレーム，ジェットエンジンの回転翼の設計，建築物の構造，流れの解析など広く利用され ている数学的ツールに「有限要素法」
微積分の先にあるもの∼変分法から有限要素法まで∼ 車のフレーム，ジェットエンジンの回転翼の設計，建築物の構造，流れの解析など広く利用され ている数学的ツールに「有限要素法」がある。この有限要素法は，数学の一分野である「変分法」 を背景としていて理論的もしっかりしている。 今回は，簡単な有限要素法を紹介することを目的として，次のような内容で講義する。 • 変分法 – 例題 最速降下曲線，懸垂曲線 – オイラー方程式 • 直接法 – リッツの方法 – ガレルキン法 • 有限要素法 – 1 次元有限要素法 ∗ 1 次元テント関数 ∗ 例題（リッツ法） • 付録（2 次元有限要素法） – 2 次元テント関数 – 例題（ガレルキン法） 1 変分法 自然界においてある状態が実現するとき，何らかの意味でその状態は安定な状態であると考えら れてきた。この安定さは、力学的釣り合い，エネルギーが最小あるいは
enshot on Twitter: "東大の加藤晃史先生による高校生のための変分法入門です。パワポ275ページの超力作。ここまで噛み砕けるかというくらい噛み砕いています。高校生は勿論、初めて解析力学を学ぶ学生にも良いのではないでしょうか。 https://t.co/9eEOVKLuzH"
東大の加藤晃史先生による高校生のための変分法入門です。パワポ275ページの超力作。ここまで噛み砕けるかというくらい噛み砕いています。高校生は勿論、初めて解析力学を学ぶ学生にも良いのではないでしょうか。 https://t.co/9eEOVKLuzH
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流体力学の変分法 - hiroki_f’s diary
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