横山明日希の〈数式図鑑〉 「数学のお兄さん」として活躍する横山明日希さん。数学×恋愛、数学×お笑い等、数学と異分野を掛けあわせた独自の切り口で、より数学を身近にする授業、講演などで人気です。 そんな横山さんの新著『数式図鑑』は、数学好きには外せない、さまざまな数式の美しさ、すごさ、不思議さをわかりやすく伝えるとっておきの数式集です。本書から、初めて知る数式や、よく知る数式の意外な一面など、読みどころを、ここにご紹介しましょう！ 今回は、自然界でも多く見られる有名な数列の中に、これまた有名な黄金比という美を体現するような値が現れるおもしろさを数式の上でご紹介します。 フィボナッチ数列の規則性とは フィボナッチ数列とは、以下のような数列のことをいいます。 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … この数列に潜む規則性は、となりあう3つの数において、左
ピラミッドの謎『黄金比の謎』を数学的に解明する
ピラミッドの『黄金比の謎』のおさらい この節では、なぜピラミッドに黄金比が現れるのか、について考えてみたいと思います。また、ピラミッドのセケドが 5;1 2 から 5;1 4 に変わった理由についても考えます。数学は、ピタゴラスの定理と平方根の計算が出てきますが、論理はそれほど難しくはないと思います。関数電卓を使って実際に計算してみてください。 前にも述べましたが、黄金比という用語は近世につくられたもので、古典期のギリシアでは外中比と呼んでいました。しかし本連載では皆さんがよく知っている黄金比、黄金率という用語を用いることにします。 まず復習をしましょう。a と b を a ＜ b を満たす正の実数とします。次を満たすとき、a : b は黄金比であるといいます。 a : b = b : a + b (1) 小さい方 : 大きい方 ＝ 大きい方 : 全体 a : b が黄金比であるとき
黄金比とは | 古代ギリシア幾何学と黄金率・フィボナッチ数列
黄金比とは 黄金比(外中比)とギリシアの幾何学 黄金比は、ギリシアの幾何学では外中比と呼ばれ、ギリシア「幾何学」のハイライトの一つです。黄金比のことをエジプト人が知っていたかどうかは疑問ですが、数学史では黄金比がよく出てくるのでここで説明しておきましょう。 ギリシアの「幾何学」は定規とコンパスだけで行うもので、数値は現れません。これは「禁止されている」というのではなく、そもそも前提となる概念のなかに数値が含まれていないのです。「幾何学」ではまず使ってもよい概念を公理や定義として述べてから理論を展開します。この方式はギリシア以降数学の標準として踏襲されてきます。ここでは、ギリシアの幾何学では比がどのように扱われているか、そのさわりだけをごく簡単に解説します。 「幾何学」では、長さ、面積、体積、角度を抽象的な対象として扱います。『4-2.ピタゴラスの定理』で述べたように、「2つの線分 α と
フィボナッチ数列とは？〜自然界にも存在する不思議な数列〜
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…このように並んだ数字にどのような規則があるかわかりますか？この数列はフィボナッチ数列と呼ばれています。フィボナッチ数列は入試問題などにも登場することがあるので、数字の並びを見てすぐにピンときた方もいるのではないでしょうか。今回は不思議な性質を持つこの数列について調べてみましょう。 フィボナッチ数列にはどのような規則があるか 次のような数列をフィボナッチ数列といいます。 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … フィボナッチ数列は「前の2項の和が次の項になる」という規則性をもっています。例えば最初に現れる3つの項を見てみると、1 + 1 = 2 となっています。同様に2項目から3つの項は、1 + 2 = 3、3項目から3つの項は、2 + 3
黄金比 〜五芒星に現われる美しい比率〜
人間が最も美しいと感じる比率とされてる黄金比。美術や商業デザインにも取り入れられることが多く、皆さんも一度は「黄金比」という言葉を耳にしたことがあるのではないでしょうか。今回は様々な場面に登場する黄金比について調べてみましょう。 線分 AB を点 C で2 つに分割します（図1）。AC が CB より短いとします。ACの長さを a、CB の長さを b とします。線分 AB を次を満たすように点 Cで分割する分割のしかたを黄金分割 といいます。 短い方 : 長い方 = 長い方 : 全体 式で表すと以下のようになります。 a : b = b : a + b ( 1 ) ( 1 ) を満たすa : b を黄金比といい、b / aを黄金率と呼びます。（ b / a の逆数 a / b を黄金率と呼ぶこともあります。）黄金率はよくギリシア文字 φふぁいで表されます。 また、( 1
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【フィボナッチ数列と黄金比】花びらにも!? 自然界に多く登場する魔法の数列と究極の比（横山 明日希）