物理数学：スツルム・リウヴィル問題（後編）

微分方程式を演算子で表す 次のような 2 階の線形同次微分方程式を考える. 微分方程式における「同次」という言葉は,全ての項に未知関数が含まれている,というくらいの意味なのだった.ここで,ややは実関数だとする.それでもかなり一般的な形を表していると言えるだろう.この式を微分演算子を使って表したい.次のような演算子を定義してやる. これが関数に作用すると考えるのだ.すると (1) 式は と表せるようになる. さて,数学的には,関数はベクトルだと言って差し支えない.線形代数のベクトルの公理を全て満たしているので,ベクトルとしての性質を同じように持つのである.そして,演算子というのは関数を別の形の関数へと変換する働きを持ったものなので,ベクトルを変換する行列と同等のものだとして扱うことができる.ただしそれが言えるために演算子が線形性を持つということが大事なのだが,(2) 式の演算子は線形性がある