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【解決編】平面上の凸図形に含まれる多角形の面積 - フィボナッチ・フリーク
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【解決編】平面上の凸図形に含まれる多角形の面積 - フィボナッチ・フリーク
前回の記事で,次のような問題の解答を募集しました. 問題.平面上の凸図形に対し,「に含まれる角形の... 前回の記事で,次のような問題の解答を募集しました. 問題.平面上の凸図形に対し,「に含まれる角形の面積の最大値をの面積で割ったもの」をと書く.を動かしたとき,のとりうる値の最小値は何か? fibonacci-freak.hatenablog.com これについてある方からTwitterでリプライをいただき,なんとこの問題は E. Sasという数学者により1939年に解かれていた ことが判明しました!(昔の人,すごい!) そこで,今回はその証明を紹介したいと思います.簡潔な証明なのですぐに終わります. 定理 (E.Sas, 1939).任意の凸図形に対しであり,が円のときに等号が成立する. 証明.に含まれる線分のうち距離が最大のものを1つとりとする.問題の内容は相似で不変なのでの長さがであると仮定してよい.となるように座標をとる.の最大性から,はの範囲に入ることに注意する. 各に対しにおける