統計のための線形代数 ∼基本的な定理・性質から発展的なものまで∼ 永井 勇1 Last Modified : 平成 25 年 3 月 7 日 1関西学院大学理工学部 目 次 0 概要 1 1 逆行列 1 1.1 和の逆行列 . . . . . . . . . .
統計のための線形代数 ∼基本的な定理・性質から発展的なものまで∼ 永井 勇1 Last Modified : 平成 25 年 3 月 7 日 1関西学院大学理工学部 目 次 0 概要 1 1 逆行列 1 1.1 和の逆行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 分割行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 行列式 (determinant) の性質 3 3 対角和 (trace) の性質 6 4 核空間と像空間 8 5 階数 (rank) の性質 8 6 正定値, 非負定値とは 9 7 固有値の大小関係 10 7
資料: http://www.slideshare.net/taketo1024/ss-44063603 第1回 「プログラマのための数学勉強会」にて発表。 http://connpass.com/event/10510/ 発表者: 佐野岳人（東京大学数学科卒、iOSアプリ開発者） Twitter: http://twitter.com/taketo1024 Blog: http://taketo1024.hateblo.jp
Rust Advent Calendar 12/4の記事です 以前にRustで1次元のNewton法を実装する記事を書きましたが、実際の科学技術計算では多次元のベクトルの扱いが必要になります。 PythonではNumPyで提供されているnumpy.ndarrayが中心的な役割を果たしますが、 今回はRustによる多次元配列の実装であるrust-ndarrayを使用します。 しかしこのcrateにはベクトルの演算と行列xベクトルの演算までしか実装されておらずQR分解や特異値分解、 あるいは高速Fourier変換のような演算は実装されていません。 このままだと自分でアルゴリズムを書くのに支障があるため、基本的な部分を実装してきました。 rust-ndarray rust-ndarrayはnumpyのものと同じで一つの連続したメモリとstridesと呼ばれる各インデックス毎のとび幅からなっていま
照井 章. 筑波大学 理工学群 数学類. 線形代数I（化学類対象）. 2013年4月12日. 筑波大学 1E102. Akira Terui. Lecture "Linear Algebra I (in Japanese)." Lecture 1: Guidance. April 12, 2013, at College of Mathematics, University of Tsukuba, Tsukuba, Japan.
Shota Imai@えるエル on Twitter: "線形代数を直感的に理解できるようにと、『The Art of Linear Algebra』という、線形代数のさまざまな操作を視覚的に表現した教科書が公開されています https://t.co/JDo0Us1S18 なんと序文に、… https://t.co/9n4yznqyzS"
線形代数を直感的に理解できるようにと、『The Art of Linear Algebra』という、線形代数のさまざまな操作を視覚的に表現した教科書が公開されています https://t.co/JDo0Us1S18 なんと序文に、… https://t.co/9n4yznqyzS
この性質って何もベクトルだけが持っているものではありません。そこで、ベクトルと同じような性質を持つ色んなものを「線形空間」（ベクトル空間とも言います）というカテゴリに入れて、これらの性質をまとめて考えようとするのがこの単元のコンセプトです。 線形空間の条件 1.集合である まず、線形空間というのは 集合(あるものの集まり) のことを言います。集合の中でも、一定の条件を満たせば線形空間と言えるわけです。集合は有限でも無限でも構いません。「整数」みたいな無限個ある集合でも条件さえ満たせば OK です。 ここでは、ある集合をVVVという記号で表して考えていきます。 2.「和」と「スカラー倍」の演算ルールがある さて、ある集合VVVが線形空間なのかどうかを考える上で、2 つの演算ルールが用意されていることが前提になります。それが「和」と「スカラー倍」です。どっちも馴染みのある言葉ですね。 和 VV
大学に入って１番最初に習う科目。それが線形代数（と解析学）。１番最初に習うだけあって、工学部として今後勉強するべき内容の基礎となる科目である。画像処理をしてＣＧを書くときに座標の位置を表すときも、脳の働きをプログラムでシミュレーションするときも、何かを作るときの最適な行動プランを計画するときも、線形代数の肝である「行列」を使うことになる。この科目も解析学と同じく一般化をひたすらする科目で非常にイメージがしづらい。それこそ行列を利用した画像処理なんかの方がよっぽどイメージがつきやすいのだが、そのあたりは鶏が先か卵が先か、みたいなもので線形代数を習得していないと画像処理に入れないわけで、そういったときは他の科目でも言っているが演習をひたすらこなすにつきる。 ・参考ＨＰ 龍谷大学講義ＨＰ http://www.math.ryukoku.ac.jp/~tsutomu/LA.html 資料が丁寧でわ
高校教育で線形代数が復活するかも知れない
統合イノベーション戦略推進会議の有識者提案を受けて、日経クロステックの浅川直輝氏が日本の数理教育や産学連携の失敗を綴っている*1。高校の学習指導要領から線形代数が消えたことがよく非難されているが、記事にあるように「行列やベクトルの概念を知らない大学初年度の学生に…の原理をどう教えるか」言う問題が生じうる*2ことになっている。 これに反応してネット界隈では大喜利が披露されていたのだが、とにかくAIと要っておけば何かしている感が出るだろうと思っている風の第4回の会議資料の「AI戦略(有識者提案)及び人間中心のAI社会原則(案)について」の「教育改革に向けた主な取り組み」（p.6）の「高校における教育の充実」で「確率・統計・線形代数等の基盤を修得する教材」と言う表現があるので、高校教育で線形代数が復活するかも知れない。議事録を読まない限りは期待が持てる。「基盤」が意味するところが謎ではあるし、次
線形代数と確率過程の話
はじめに 理工系の学生なら、学部で線形代数を習うことでしょう。学部での線形代数は、主に行列やベクトルの性質を調べるものとして学ぶと思います。そこで面倒な計算をして対角化とか固有ベクトルとか固有値とかやって、「なんで行列を対角化しなきゃいけないのか？」「固有ベクトルとか求めて何がうれしいのか？」がいまいちわからないまま卒業し、その後の機械学習ブームで「時代は線形代数！」とか言われて教科書を引っ張り出したは良いけど、でも結局よくわからないままそっと閉じる、なんて人も多いのではと思います。 線形代数は、代数学の一分野です。代数学とはその名の通り「具体的な数」の「代」わりに「記号」を使って式を表現し、その性質を調べる学問です。小学校で「つるかめ算」や「過不足算」をやったと思いますが、中学に入るとそれがすべて方程式や連立方程式で解けてしまうことを習ったと思います。一度方程式に落としてしまえば、もとが
これは良書かも 「まずはこの一冊から 意味がわかる線形代数」 - EchizenBlog-Zwei
偶然書店で手に取ってみた「まずはこの一冊から 意味がわかる線形代数」が思いのほか良書の予感がしたのでメモ。 わかるわかる言っている本は信用できないことも多いのだが、本書は本当に意味がわかるので安心。 扱っているトピックは「キーポイント線形代数」と重なっている部分が多い。また概念の意味の解説を重視するという方向性も同様。ただ本書の方がページ数が多い分解説は丁寧かもしれない。また具体例を用いた解説も豊富。 個人的には「キーポイント」が大満足の出来だったのだが、人によってはこちらのほうが肌に合うかもしれない。 参考： 機械学習で固有値とか固有ベクトルで詰まった人は「キーポイント線形代数」がオススメ - EchizenBlog-Zwei そうそう。全くの余談だが、同じく書店で見かけた「リッカチのひ・み・つ」はふわっとしたタイトルと表紙とは裏腹に超硬派な内容だったので初心者はうかつに手を出しちゃだめ
連載目次 前回は、行列をNumPyの配列として表し、要素ごとの四則演算を行ったり、ブロードキャスト機能を利用したりする方法、さらに、行や列の操作、集計などについても見てきました。今回は行列の内積について基本的な考え方から計算方法、応用例について見ていきます。 この連載には「中学・高校数学で学ぶ」というサブタイトルが付いていますが、2012年施行の学習指導要領で数学Cが廃止され、行列が実質的に高校数学で取り扱われなくなったので、行列になじみのない方もおられるかもしれません。そこで、内積の計算方法についても簡単に説明することとします（なお、2022年度施行の学習指導要領では数学Cと行列が復活しました）。 行列の取り扱いについては内容が多岐にわたるので、少しずつ確実に理解できるよう、数回に分けて取り組むことにします。
From Generative AI to Cooperative AI: 協働AIのもたらす社会、2030年への課題と展望Osaka University
2023-12-06 メールアドレスの確認を行う 2023-12-05 ブログ的なもの作り-投稿・表示・編集 2023-12-04 pukiwikiの記事を流し込む 記事の見た目をいじる 2023-12-03 svelte 2023-12-02 Thinkpadのトラックポイントが遅すぎる 2023-12-01 ネーターの定理 ラグランジアン コード配置の整理 Prisma と Lucia を使った認証システム
C++線形代数ライブラリEigenの注意点
※ 2020-09-06: 「アライメントの問題（C++17以上かつEigenバージョン3.4以上）」を追加。 線形代数ライブラリ（行列演算や行列分解などを行うライブラリ）には、有名どころだとPythonではNumpyがあり、C++ではEigenがあります。Eigenは強力なライブラリですが、気をつけなければいけないところがいくつかあるのでまとめます。 Eigenの特徴 ヘッダーオンリーでテンプレートが多用されており、汎用性が高い Expression Template（式テンプレート）を用いた遅延評価で高速（不要な計算を自動で除外する） 自動でSIMDやループ展開が適用され高速 静的にサイズを指定した行列はヒープを一切使用しない 疎行列のサポートがある 密行列・疎行列それぞれ様々な行列分解アルゴリズムが実装されている 以上のように、非常に高速で強力なライブラリですが、高速性のトレードオフ
線形代数
KIT数学ナビゲーションのページの中で線形代数に関するページを集めている．特に断らない限りベクトル，行列の成分はすべて実数であるとして説明する． ■行列 行列の定義 行ベクトル，列ベクトル，係数行列，列ベクトルを用いた行列の表し方，成分が複素数のベクトルと行列 行列の和 行列のスカラー倍 －Aの定義 行列の差 行列の積 行列の計算則 単位行列 零行列 正方行列 転置行列 対称行列 直交行列 ■線形変換 ベクトル空間（線形空間） n次元ベクトル空間 内積，成分が複素数の場合の内積 ベクトルの長さ(大きさ，絶対値) ベクトルの直交性 線形写像 線形写像の合成 単射・全射・全単射 1次変換 1次結合 回転行列 3次元の回転行列(x軸まわり) 1次独立と1次従属 n 個の n 次元列ベクトルが1次独立であるための必要十分条件 n 個の n 次元列ベクトルが1次従属であるための必要十分条件 部分空間
線形代数 | 高校数学の美しい物語
関数などの演算 fff が，任意の a,b,x,ya,b,x,ya,b,x,y に対して f(ax+by)=af(x)+bf(y)f(ax+by)=af(x)+bf(y)f(ax+by)=af(x)+bf(y) を満たすとき，fff のそのような性質を線形性と呼ぶ。
行列式って何？ | 大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門
行列式の表記 行列AAAの行列式は、∣A∣|A|∣A∣やdet(A){\rm det}(A)det(A)と表します。「det」は、行列式の英語に当たる"determinant"に由来します。 どちらを使用しても構いませんが、以降では、∣A∣|A|∣A∣の方を使用します。 行列式の定義（ミニサイズの行列用） まず、行列式は正方行列に対してのみ定義されます。よって、以降では基本的に正方行列のみ扱うこととします。 行列式の定義は、一般的なnnn行nnn列行列に対して説明するとかなり複雑になるので、今後いくつかの記事を経て展開することになります。 今回は、'さわり'なので、定義が比較的簡単である 2 次正方行列と 3 次正方行列の場合について説明します。 2次正方行列の行列式 かなり簡単です。
高梨陣平 on Twitter: "これはスゴイ。インタラクティブなグラフを多用する線形代数の教科書。全部無料で読める。 11章以降がまだ執筆中か。大学一年生かできる子に。 https://t.co/wRL19cHzc8"
これはスゴイ。インタラクティブなグラフを多用する線形代数の教科書。全部無料で読める。 11章以降がまだ執筆中か。大学一年生かできる子に。 https://t.co/wRL19cHzc8
線形代数インデックス
サイトのTOP→理系インデックス 『 線形代数 』 と 『 線型代数 』 は同じ意味で用いられる。近年は前者の方で表記することが多くなってきたように思う。 ※ 第０章では工学部・理工学部の標準的な線形代数の内容をまとめる。 ※ 第１章以降では、より厳密な線形代数を扱う。 第０章 工学部・理工学部の線形代数 工事中 （ ２０１２年内に公開予定。） 第１章 行列 ▲１ 行列 （ 定義 ） ▲２ 行列の基本的な性質 ▲３ 転置行列、正則行列・逆行列、対称行列・交代行列 ▲４ 行列のブロック分割 △５ ｎ乗行列の計算 （ 特殊な形 ） △６ ｎ乗行列の計算 （ 正則性の証明 ） △７ ｎ乗行列の計算 （ 様々な行列 ） △８ 行列の積 （ ブロック分割による計算 ） ※９ Tea time （ 線形代数：第１章の補足 ） 第２章 行列式 ▲１０ 置換の定義 ▲１１ 任意の置換は互
numpy.linalgがそれ。でも、こちらの方がより実践的かも。 その構成は： Matrix and vector products Decompositions Matrix eigenvalues Norms and other numbers Solving equations and inverting matrices Exceptions Linear algebra on several matrices at once Matrix and vector products dot product スカラーの普通の積(複素数も)、ベクトルの内積、行列の通常の積、アレイの場合は、左側アレイの最終軸と右側アレイの後ろから2番目の軸とを対応付けた積(使わなそう…) np.dot(3,4) 3 + 2j # 複素数 (3+2j) * (2+4j) np.dot(3+2j,2+4j)
いかり on Twitter: "「数学って難しいですよね」という話をすると、その人がどこで数学を諦めたのかが分かる。ルートがと話す人は中学時代、サインコサインがと話す人は数1、ベクトルがと話す人は数2、線形代数がと話す人は大学初年度でそれぞれ数学から距離を取っていることが多く、測度論がと話す人には異常者が多い。"
「数学って難しいですよね」という話をすると、その人がどこで数学を諦めたのかが分かる。ルートがと話す人は中学時代、サインコサインがと話す人は数1、ベクトルがと話す人は数2、線形代数がと話す人は大学初年度でそれぞれ数学から距離を取っていることが多く、測度論がと話す人には異常者が多い。
線形代数学入門
PDF TeX R WebMath (http://www.las.osakafu- u.ac.jp/lecture/math/MathOnWeb/) 1 2020 4 25 2 2018/3/2 2019/4/25 2019/5/8 2 2019/5/10 2 6.3 2019/5/30 5 2019/6/28 7 3 7.3 7.4 2019/7/19 7 n R Real number R x ∈ R x C Complex number C 3 sgn(σ) • σ σ(1) σ = � 1 2 3 2 3 1 � σ = 1 2 � 1 • • 2 • • well-defined 4 1 9 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 .
GIFアニメで見る線形代数
GIFアニメで見る線形代数 行列は単なる「数字の表」ではありません. m×n 行列 A には, n 次元空間から m 次元空間への写像という意味があります. この写像を観察しましょう. こてしらべ: 対角行列の観察 まずは典型的な対角行列 \(A = \begin{pmatrix} 1.5 & 0\\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}\) 縦横に伸縮 横方向は拡大(1.5倍), 縦方向は縮小(0.5倍) 各升目の面積は, 1.5 * 0.5 = 0.75 倍になる. この面積拡大率 0.75 が det A. だから, 対角行列の行列式＝対角成分の積. 対角成分に0があると… \(B = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}\)
量子論について理解するためには，線形代数に関する知識が少なからず必要になるはずです。その理由は，量子論では線形写像を考えることが実質的に不可欠であるためといえるでしょう。そもそも，なぜ量子論では線形写像が現れるのでしょうか？その理由を，量子論の専門家ではない人にできるだけわかりやすく説明します。 量子論では，大別すると2種類の線形写像が現れます。これらを区別できれば，量子論に関する理解が大幅に深まることと思います。 準備：線形写像とはまず，線形写像についてざっくりと説明しておきます。ある集合$${X}$$からある集合$${Y}$$への写像$${f}$$が線形であるとは，任意の$${x_1,\dots,x_k \in X}$$と$${a_1,\dots,a_k \in \R}$$（$${\R}$$は実数全体）に対して $$ f \left( \sum_{i=1}^k a_i x_i \rig
…懐かしい単語がいっぱいだようわあああん！！！そんな訳で歌ってみました。女教師さんのUPまでの場つなぎにでもどうぞ。（最後の方とかなんかもう歌詞とタイミングずれまくりですが･･･ごめんなさい）※映像・歌詞はsm1039759をそのまま使わせていただきました。勝手にすみません。（←後日快くお許しを頂けました。ありがとうございます☆）
線形代数を宇宙一わかりやすく解説してみるサイト
線形代数の基礎入門 理系大学生必見！5分でわかる線形代数の重要部分の総まとめ！ 2018.08.18 syaru
これから頑張ろうなー！٩( 'ω' )و 「予備校のノリで学ぶ線形代数(東京図書)」 https://amzn.to/2yvIUF1 →ヨビノリの線形代数の授業が書籍化されました 【線形代数学入門連続講義一覧】 線形代数入門①(概観&ベクトル) →https://youtu.be/svm8hlhF8PA 線形代数入門②(行列) →https://youtu.be/ltFl0FpLTzQ 線形代数入門③(一次変換と演算の性質) →https://youtu.be/X2Xy2wnQbXc 線形代数入門④(一次独立と一次従属) →https://youtu.be/6lKtkf3SNyE 線形代数入門⑤(連立方程式：掃き出し法) →https://youtu.be/Da73Ra7gWKU 線形代数入門⑥(連立方程式：不定と不能) →https://youtu.be/SrGvI85h6Mk 線形
数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像(ベクトル空間、部分空間) | Kamimura's blog
数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像(ベクトル空間、部分空間)
「線形代数」でニューラルネットワークを記述する？
はじめに 前回の第3回では、「逆伝搬」によるニューラルネットワークの学習について解説しました。「逆伝搬」は２つのStepの繰り返しでしたね（図1③④）。 まず、Step１ではニューラルネットワークが出力した予測値と実際の正解データを比較し、その間違いの度合いを「誤差関数E」によって計測します（図1③）。そしてStep2では、誤差関数の値が小さくなるようにネットワークの枝の重みwを更新するのでした（図1④）。 また、重みの更新ルールの説明では「勾配降下法」という非常に重要なアイデアが自然と導き出されることを紹介しました。 ニューラルネットワークの学習というプロセスは以上の内容に集約されています。「それでは、これで連載終了！お疲れさまでした！」と言いたいところですが、この更新式には1つだけ課題がありました。それは「1つの枝の重みwの更新しかできない」ことです。 ニューラルネットワークは文字通り
記事一覧（数学１）中高数学、物理数学、線形代数、複素関数、解析学、微分方程式、微分幾何学、位相幾何学、多様体 - とね日記
理数系ネタ、パソコン、フランス語の話が中心。 量子テレポーテーションや超弦理論の理解を目指して勉強を続けています！ ブログの記事の分類には「カテゴリー」を使うものだが、僕のブログでは物理と数学系の記事は「物理学、数学」というカテゴリーにまとめてしまったので分野別に検索することができない。 この不便を解決するために分野別に記事をまとめてみたくなった。この記事事自体を「記事一覧（分野別）」というトップカテゴリーにしておけば簡単にこのブログの目次を引っ張り出すことができるので使いやすい。 「記事一覧（数学２）集合・位相、関数解析、群環体、代数学、確率論、統計学、データ解析、金融数学、整数論、カオス・力学系、その他」へ移動 2) 数学系の記事分類 [動画] ＊ 物理学、数学の動画： 相対性理論、量子論、電磁気学、超ひも理論、リーマン予想など [科学雑誌Newton] ＊ ニュートン別冊（ニュートン
Shota Imai@えるエル on Twitter: "線形代数における行列に関する計算，操作，重要公式をまとめたPDF https://t.co/vG6rnM3D9S 大学で習うようなレベルの線形代数の知識の他，線形代数の書籍や機械学習の文脈で頻出のものまで網羅しているため，PCで手… https://t.co/Os6G3dW4Ug"
線形代数における行列に関する計算，操作，重要公式をまとめたPDF https://t.co/vG6rnM3D9S 大学で習うようなレベルの線形代数の知識の他，線形代数の書籍や機械学習の文脈で頻出のものまで網羅しているため，PCで手… https://t.co/Os6G3dW4Ug
固有値問題 † $A$ を $n$ 次正方行列として、 $$\begin{aligned}A\bm x=\lambda\bm x\hspace{1cm}\text{ただし}\hspace{1cm}\bm x\ne\bm 0\end{aligned}$$ を満たすような $\lambda$ を固有値、$\bm x$ を固有ベクトルと呼ぶ。 これらを求めるのが 固有値問題。 変形すると $(A-\lambda E)\bm x=\bm 0$ もし $(A-\lambda E)$ が正則なら $\bm x=(A-\lambda E)^{-1}\bm 0=\bm 0$ となってしまってダメなので、$\lambda$ は次の式を満たさなければならない。 $$\begin{aligned}|A-\lambda E|=0\end{aligned}$$ これは $\lambda$ に関する $n$ 次方程式
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