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核 (代数学) - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "核" 代数学 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2015年7月） 数学において、準同型の核（かく、英: kernel）とは、その準同型の単射からのずれの度合いを測る道具である。代数系における準同型の核が "自明" (trivial) であることとその準同型が単射であることとが同値となる。 定義[編集] 考える構造により多少の差異はあるが、（圏論を使わない）集合と写像の言葉の範疇では概ね、基点 (base point) と呼ばれる特定の元を構造として持つ場合と持たない場合の二種に大別できる（ここでは、正確には基点のみからなる一元
随伴のニョロニョロ関係をTypeScriptで確認する - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
遅ればせながら、明けましておめでとうございます。年は変われど、僕の興味はあいも変わらず。 Cがデカルト閉圏のとき、直積による掛け算関手と関数空間を作る指数関手*1は随伴ペアとなります。この事実が型付きラムダ計算のモデル作成のベースとなります。つまり、C(X×A, Y) C(X, YA) が成立して、この同型がカリー化／反カリー化を与えるわけです。逆に、型付きラムダ計算が行えるプログラミング言語のなかには随伴ペアとカリー同型がなんらかの形で備わってます。 ところで、随伴性はニョロニョロ関係式によっても定義できます。型付きラムダ計算が行えるプログラミング言語では、掛け算関手と指数関手に関するニョロニョロ関係式が成立しているはずです。このニョロニョロ関係式を、当のプログラミング言語のなかで確認することができるでしょうか？ TypeScriptで試してみました。 内容： 掛け算・指数、随伴、ニョロ
始対象と終対象 - Wikipedia
数学の抽象的な分野である圏論において、圏 𝒞 の始対象（したいしょう、英: initial object, coterminal object）とは、𝒞 の任意の対象 X に対してちょうど一つの射 I → X が存在するような 𝒞 の対象 I のことを指す。圏 𝒞 の終対象（しゅうたいしょう、英: final object, terminal object）とは、始対象の双対概念であり、 𝒞 の任意の対象 X に対してちょうど一つの射 X → T が存在するような 𝒞 の対象 T のことを指す。 始対象でも終対象でもあるような対象は零対象（れいたいしょう、ゼロたいしょう、英: zero object, null object）と呼ばれる。点付き圏 (pointed category) とは零対象を持つ圏を言う。 例[編集] 空集合は集合の圏 Set において唯一の始対象である。
多重集合 - Wikipedia
数学における多重集合（たじゅうしゅうごう、multiset）あるいはバッグ（bag; かばん）は、集合に同じ値の元がいくつも含まれるとき、各元がそれぞれいくつ含まれるかという重複度を考え合わせた集合概念である。非順序対、非順序組 (unordered tuple) ともいう[注釈 1]。 クヌースによれば、1970年代に最初に多重集合 (multiset) という言葉を提案したのは、オランダ人数学者のニコラース・ホーバート・ド・ブラン (IPA: [dɪ bʁœyn]) であるという[1][2]。しかし、数学における多重集合の概念は、"multiset" という名称がつけられる90年以上も前にすでに使用が認められる。実際、1888年に発表されたリヒャルト・デデキントの有名な論文 "Was sind und was sollen die Zahlen?" （「数とは何か、何であるべきか？」）
多価関数 - Wikipedia
多価関数写像のイメージ。集合 X の要素 3 が集合 Y に含まれる複数の要素 b および c に移されるため、この写像は本当の意味での関数とは言えない。 多価関数（たかかんすう、英: multivalued function）とは、全域的な関係のひとつであり、一つの入力が与えられたときに一つあるいは複数の出力を得るものである。しかし現代的な定義での関数は写像の一種とみなされ、一つの入力があるときに出力を一つだけ得るものと定義されることが多く、この場合には多価関数を「関数」と呼ぶのは不適切となる（下記多価関数#歴史的経緯参照）。多価関数は単射でない関数から得ることができる。そのような関数では逆関数が定義できないが、逆関係 (inverse relation) はある。多価関数は、この逆関係に相当する。 例[編集] 0 より大きな実数、または 0 でない複素数について、その平方根を計算するこ
定義域 - Wikipedia
数学における写像の定義域（ていぎいき、英: domain of definition）あるいは始域（しいき、英: domain; 域, 領域[注釈 1]）とは、写像の値の定義される引数（「入力」）の取り得る値全体からなる集合である。つまり、写像はその定義域の各元に対して（「出力」としての）値を与える。 例えば、実数の範囲での議論において、余弦函数の定義域はふつう実数全体の成す集合（実数直線）であるし、正の平方根函数の定義域は 0 以上の実数全体の成す集合であるものとする。定義域が実数から成る集合（実数全体の成す集合の部分集合）であるような実数値函数は、その定義域が x-軸上にあるものとして xy-直交座標系に表すことができる。 写像 f の定義域は X。 定義[編集] 対応 f: A → B（あるいは二項関係 Rf ⊂ A × B）が与えられたとき、A を f の始集合あるいは始域、域 (
解析接続 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "解析接続" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2015年7月） 解析学において、解析接続 (かいせきせつぞく、英: analytic continuation) とはリーマン球面 C 上の領域で定義された有理型関数に対して定義域の拡張を行う手法の一つ、あるいは、その拡張によって得られた関数のことである[1][2][3]。 定義[編集] ここでは、有理型関数の解析接続を定義する。正則関数に限って定義することもあるが、有理型関数は、分母分子ともに正則関数である分数で表されるような関数なので、有理型関数の解析接続の定義は、正則関数の
余等化子 - Wikipedia
圏論における余等化子（よとうかし、英: coequalizer , coequaliser）は同値関係による商の、任意の圏における対象に対する一般化である。余等化子は等化子の双対となる圏論的構成である。 定義[編集] 余等化子は二つの対象 X, Y と二つの平行射 f, g: X → Y からなる図式の余極限である。より明示的に書けば、余等化子は対象 Q と射 q: Y → Q で q ∘ f = q ∘ g を満たすものの組として定義することができる。さらに言えば、対 (Q, q) は、同じ性質を持つ別の対 (Q', q') が与えられたとき、以下の図式 余等化子の普遍性 を可換とする射 u: Q → Q' が一意に存在するという意味での普遍性を持たなければならない。全ての普遍構成がそうである通り、余等化子は存在すれば同型を除いて一意である（それがゆえに、与えられた平行射の単に (the
等化子 - Wikipedia
数学における等化子（とうかし、英: equalizer, equaliser）は、与えられた複数の写像に対してそれらの値が等しくなるような引数全体の成す集合を言う。従って各等化子は特定の形の方程式の解集合（英語版）として得られる。特定の文脈では、ちょうど二つの写像の等化子を、それら写像の差核 (difference kernel) と呼ぶ。 定義[編集] 集合 X, Y と二つの写像 f, g: X → Y に対し、f と g との等化子（ここでは Eq(f, g) と書く）とは、Y において f(x) = g(x) が成り立つような x ∈ X 全体の成す集合、記号で書けば を言う。等化子を表す記号は文脈によって違いうるが、例えば情報理論の文脈ではふつう {f = g} という記法が用いられる。 上記定義においては f, g 二つの写像しか用いていないが、二つと限らず、さらに言えば有限個
写像 - Wikipedia
集合論においては、集合 A, B の元の順序対からなる集合（すなわち二項関係）f が x ∈ A ならば (x, y) ∈ f を満たす y ∈ B が存在する (x, y1) ∈ f かつ (x, y2) ∈ f ならば y1 = y2 の二つをみたすとき、f を A から B への関数と呼び[7]、f: A → B で表す。またこのとき、(x, y) ∈ f であることを f(x) = y と書く。この文脈では、f と f のグラフ {(x, y) | y = f(x)} を同一視し、関数と写像を同じ意味に用いる。 二つの写像 f と g の相等は、集合として同一であるということ、すなわち ∀x∀y ( (x,y) ∈ f ⇔ (x,y) ∈ g ) ということであるが、これは（ f と g の定義域が等しく、かつ）任意の a ∈ A に対して f(a) = g(a) であることと同値
ブラリ＝フォルティのパラドックス - Wikipedia
ブラリ＝フォルティのパラドックス (Burali-Forti paradox) とは、数学の集合論におけるパラドックスの一つであり、「全ての順序数の集合」という概念を素朴に導入すると矛盾が起こるという主張。即ちそのような存在を許す体系は自己矛盾していることを示す。 フォン・ノイマン順序数を用いた説明[編集] 矛盾の原因は、全ての順序数の集合が順序数としての性質を全て満たすが故に、それ自体がまた順序数と看做されねばならないことにある。従って、その後続順序数を構成することができ、これはよりも厳密に大きい。ところが、定義によりこの順序数もまたの元でなければならない。ゆえに より一般的な説明[編集] 上に挙げた説明は一種の時代錯誤を含んでいる。何故ならフォン・ノイマンに由来する順序数の定義を仮定しているからで、その中で個々の順序数は先行する全ての順序数の集合になっている。 このような定義はブラリ＝
基礎の公理の成り立たない集合論について
基礎の公理の成り立たない集合論 (non well-founded set theory) について 渕野 昌(Sakaé Fuchino) （この文章はまだ書きかけです） 2008年の夏にネット上に公開した文書 の中で， … というのも， なぜだかは分らない が，∈-無限下降列に対して病的な興味を示す素人数学者が後をたたないからで ある．私の知っている例でも，体系の言語で記述される（内的な）無限降下列 とモデルでの無限降下列の区別さえ定かでないような，∈ の整列性を仮定し ない集合論に関するあやしげな博士論文が，集合論以外の専門の数学者による 審査で通ってしまった，という，ある旧帝国大学*2での最近の事例がある．こ のような不愉快な傾向に拍車をかけるようなまねはくれぐれもやめてほしい， と強く希望する次第である． と書きました． 「とんでも数学者」を挑発しようと思って，意図的にこのような
集合論オタが非オタの彼女に集合論世界を軽く紹介するための１０定理 - kururu_goedel’s diary
(元ネタ: アニオタが非オタの彼女にアニメ世界を軽く紹介するための10本) まあ、どのくらいの数の集合論オタがそういう彼女をゲットできるかは別にして、 「オタではまったくないんだが、しかし自分のオタ趣味を肯定的に黙認してくれて、 その上で全く知らない集合論の世界とはなんなのか、ちょっとだけ好奇心持ってる」 ような、ヲタの都合のいい妄想の中に出てきそうな彼女に、集合論のことを紹介するために 見せるべき10個の定理を選んでみたいのだけれど。 あー、こんな象が針の穴を通るより、買っていない宝くじで10億円当たるよりあり得ないシチュエーションってどうよ。もうこの後は普通に行きます。単に自分の集合論観を伝えられるような定理でそこそこ理解可能なものをピック G. Cantor: 集合論の始まり。少なくともKanamori先生によれば。 N. Aronszajn: Aronszajn treeは存在する
連続体濃度 - Wikipedia
集合論における連続体濃度（れんぞくたいのうど、英: cardinality of the continuum）とは、実数全体の成す集合 R の濃度（あるいは基数、集合の「大きさ」の尺度）のことである。連続体濃度を持った集合を連続体 (continuum) と呼ぶこともある。これは無限濃度のひとつであり、|R|, 2ℵ0（ℵはヘブライ文字のアレフ）, または （ドイツ文字小文字の c）などの記号で表される。 概要[編集] 実数の全体 Rは自然数の全体 N の冪集合の元と同じ数の元をもつ。さらに、これらの集合は N 自身よりも多くの元を含む（#連続濃度の非可算性節を見よ）。このことはゲオルク・カントールによって1874年に初めて示され、無限の尺度に異なる階層があることを確立した研究の嚆矢となった。後に、カントールはより簡明な対角線論法による証明も与えている。 連続体濃度を持つ集合には以下のよう
強制法 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "強制法" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2018年10月） 数学の集合論における強制法（きょうせいほう、Forcing）とは、ポール・コーエンによって開発された無矛盾性や独立性を証明するための手法である。強制法が初めて使われたのは1962年、連続体仮説と選択公理のZFからの独立性を証明した時のことである。強制法は60年代に大きく再構成されシンプルになり、集合論や、再帰理論などの数理論理学の分野で、極めて強力な手法として使われてきた。 直観的意味合い[編集] 強制法はより概念的には自然で直観的であるブール値モデルの方法と等価
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[math/0403186] Unified Foundations for Mathematics
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嘉田勝『論理と集合から始める数学の基礎』勉強会
