リー群の入門的なこと - 再帰の反復blog
リー群というのは、おおざっぱには「微分ができる群」だと説明できるけれど、正則行列や指数行列を使って説明するものもあれば、多様体を使って説明するもあったりで、なかなか分かりにくい。 目次: リー群とは リー群の扱い方 微分でリー群の特徴を取り出す 接ベクトル 物理学の場合1 リー群のリー代数 物理学の場合2 リー群とリー代数の関係 微分写像 リー代数 指数写像、指数行列 指数写像 指数行列 左不変ベクトル場によるリー代数 接ベクトル場 接ベクトル場のリー微分 左不変ベクトル場 1. リー群とは リー群というのは、おおざっぱに 微分ができる群 と説明できる(可微分群?)。実数ℝから群Gへの関数 f: ℝ→G を考えて、その関数fの微分が考えられるなら、たぶんその群Gはリー群だろうと期待できる。 たとえば 実数の集合ℝ : 加法について群になっている。さらに関数f: ℝ→ℝの微分を考えられる。
【IQ1AdC】W理論こと特異学習理論の重要論文公式10本ノック【12/9】 - カイヤン雑記帳
おはようございますまたはこんにちはまたはこんばんは，カイヤンです． 本記事はIQ1 Advent Calendar 2019（主催者 id:chakku000 ）における12月9日の記事です． 参考：IQ1 Advent Calendar 2018 2018/12/11の拙著記事「IQが1のデータ分析：respects いつも何度でも尋ねられること」 おことわり 今回は，ベイズ推論の特異学習理論（Watanabe理論，W理論）についての記事です．IQ1なので数学的に厳密な書き方でないどころか数式が登場しませんのでご了承ください． また，IQ1なために各論文を肯定的に読んでいます（理論が中心の紹介ですが一部の数値実験についても）．クリティカルリーディング要素はありません．申し訳ありません． よりおことわりらしいおことわりはIQ1AdCの雰囲気をぶち壊すので折り畳みます． IQ1AdCそのもの
代数幾何と学習理論
渡辺研究室 渡辺澄夫 学習理論の専門書： 代数幾何と学習理論(まえがきともくじ)(森北出版) アマゾンのページ 渡辺澄夫 この本は、代数幾何と学習理論の関係について、 できるだけ具体的に 説明したものです。 「代数幾何と学習理論」のあらすじ 要約 本書では、統計学における周辺尤度を F とし、 代数幾何学における実対数閾値を λとするとき、 が成り立つことを証明しています。ここで n はデータの数です。 （注） (1) 周辺尤度 F はデータから計算できます。統計モデルと事前分布の設計において 最も基本的な量です。これは統計学で良く知られていました。 (2) 実対数閾値 λ は、代数多様体の特異点の性質を表す量です。 これは代数幾何学で良く知られていました。 実対数閾値は（真の分布、モデル、事前分布）から計算できます。 (3) 定理「 F = λlog n 」により、データに基づいて（真の
「ベイズ統計の理論と方法」渡辺澄夫のメモ - StatModeling Memorandum
ベイズ推測を使う人はもちろんのこと、嫌う人にもぜひ一読をすすめたい書籍です。ただし、メインの定理の証明の部分は、代数幾何学の特異点解消定理を使いますし、その他にも複素関数論・経験過程といった知識を要求されます。これらの事前知識に詳しくないと、3,4章の定理ひいてはWAICがなにやら抽象的で納得ができないといった事態になると思います。いつかp.93 例4のような特異点解消定理を使った例をいくつかこなして、さらに数値実験をして感覚をつかめたらと思います。渡辺先生は「もちろん『代数幾何学を知らなければWAICを使うことはできない』ということはありません。 WAICは簡単に計算できますので誰でも使うことができます。」とおおらかにおっしゃってくれていますので（web）現段階でも使います。 また書籍には、ベイズ推測のユーザーとして参考になる「注意」「例」、各章の最後にある「質問と回答」のコーナー、さら
ベイズ統計の理論と方法
ベイズ統計の理論と方法 渡辺澄夫 ベイズ統計の理論と方法、コロナ社、2012 ， アマゾンのページ この本ではベイズ統計の理論と方法を紹介しています。 ベイズ統計については良い本がたくさん出版されていますので、他の本と 合わせてお読み頂ければ幸いです。 初めてベイズ統計に出あった人はもちろん、これまでにベイズ統計について勉強を されていて、多くの疑問を持たれているかたに本書をお薦めします。 特に、ベイズ統計について『いろいろな本に○○○と書いてあるが、これは 本当のところ正しいのだろうか』と思われていることが沢山あるかたに本書を お勧めします。例えば、 Q１．なぜ事前分布を信じることができるのだろうか？ Q２．ベイズ法は数理や理論に支えられていないのだろうか？ 『百人いれば百個の推論』でよいのだろうか？ Q３．私は BIC や DIC でモデルを設計して来たが、それで本当によかったのだろう
「情報幾何の新展開」のやばさ - xiangze's sparse blog
「情報幾何の新展開」という本が話題になっています。 http://www.saiensu.co.jp/?page=book_details&ISBN=ISBN4910054700848&YEAR=2014 別冊数理科学 情報幾何学の新展開 2014年 08月号 [雑誌] 出版社/メーカー: サイエンス社発売日: 2014/08/22メディア: 雑誌この商品を含むブログを見る 著者は情報幾何という学問分野を創始したともいえる甘利俊一先生です。 本書においては今までの分野の総括のみならず機械学習の理論や応用の進展を受けた今後の発展の方向を示しているような非常に野心的であおられているような書き方であったので、非常に簡単ではあり、また理解が不足している部分がありますが感想をまとめます。 ４部構成になっていて、第I部、第II部は情報幾何を理解する為の基礎となる数学についての解説で、第III部は統計的
【裳華房】『トゥー 多様体』
トゥー 多様体 An Introduction to Manifolds 2nd ed. 米タフツ大学教授 Ph.D. Loring W. Tu 著／ 大阪市立大学名誉教授 理学博士 枡田幹也・ 岡山理科大学講師 博士（理学） 阿部 拓・ 大阪市立大学特任准教授 博士（理学） 堀口達也 訳 Ａ５判／506頁／定価8250円（本体7500円＋税10％）／2019年11月発行 ISBN 978-4-7853-1586-3 C3041 “Bott-Tu”で知られる世界的名著“Differential Forms in Algebraic Topology”（『微分形式と代数トポロジー』）の共著者の一人、Loring W. Tu氏による多様体論の現代的入門書。 著者の数学的センスが光る、実践的な具体例が豊富に収録されている。折に触れて多様体論発展の歴史も紹介しながら、丁寧かつ切れ味鋭い書き口で、
古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化： 局所座標って何だ？ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
多様体は局所座標を持っています。つうか、局所座標の集まりを備えた空間が多様体です。具体的な計算は、局所座標によって行います。この局所座標に関する丁寧な解説が意外に見当たらないので、ここで事例を中心に説明しましょう。 内容： 微分幾何・ベクトル解析における古式とモダン モニタールームの孤独な男 円周に対するチャートとアトラス アトラスの記述 プログラム風 反チャート： 反対方向のチャート 地球の地図帳 多様体の座標系とは何なのか 多様体は人造物か自然物か おわりに 微分幾何・ベクトル解析における古式とモダン 前置きのオシャベリをします。 タイトルに「モダン化」という言葉を使ってますが、微分幾何やベクトル解析のモダンな定式化とはどんなものでしょう。いろんな観点／意見があるでしょうが、僕にとっての“モダンな感じ”とは次のようなものです。 圏論を使う。 ファイバーバンドルを使う。 前層／層を使う。
古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化： ラムダ記法の利用 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
[追記]続きの記事を幾つか書いたので、この記事がハブになるようにシリーズ目次を付けました。[/追記] 微分幾何・ベクトル解析の古い教科書、あるいは古いスタイルで書かれた説明は、とても分かりにくいものです。記法の説明や計算の仕方はちゃんと書いてあるのですが、その記法が何を表すのか？ 計算によって何をしてるのか？ 実体／実状が把握できないんです。 今でも古いスタイルの説明はよく見かけます。それに文句を言うのはやめて（過去、文句を言いましたが(笑)）、古い（古典的／古式）スタイルの記述に、モダンな解釈を与えるにはどうするか、を解説します。 古典的／古式なスタイルは、微分幾何・ベクトル解析に限らず、例えば中学・高校の教育でも使われているので、それを避けるのは難しいでしょう。モダンな解釈、モダンな再定式化を知っておいて損はないと思います。 今回だけでなく、2,3回は書くと思います（たぶん）。とりあえ
位相多様体 - Wikipedia
位相幾何学という数学の分野において、位相多様体（いそうたようたい、英: topological manifold）とは、以下に定義される意味で実 n 次元空間に局所的に似ている（分離空間でもある）位相空間である。位相多様体は数学全般に応用を持つ位相空間の重要なクラスをなす。 「多様体」は位相多様体を意味することもあるし、より多くは、追加の構造を持った位相多様体を指す。例えば可微分多様体は可微分構造を備えた位相多様体である。任意の多様体は、単に追加の構造を忘れることによって得られる、台となる位相多様体を持つ。多様体の概念の概観はその記事に与えられている。この記事は純粋に多様体の位相的側面に焦点を当てる。 定義[編集] 位相空間 X が局所ユークリッド的 (locally Euclidean) とは、非負整数 n が存在して、X の任意の点がユークリッド空間 En（あるいは同じことだが実 n
情報量は宇宙トンネルの断面積 －ミクロな情報量を計算する幾何学的公式の発見－
梅本滉嗣 基礎物理学研究所修士課程学生と高柳匡 同教授は、量子ビットの「Entanglement of Purification」（純粋化量子もつれ）と呼ばれる情報量を計算する新しい幾何学的公式を発見しました。 本研究成果は、2018年3月26日に国際学術誌「Nature Physics」にオンライン掲載されました。 量子もつれの量を幾何学的に計算する公式を著者の一人 ( 高柳 ) がポスドク時代に発見してから１０年以上経過しました。この研究成果は、「宇宙が量子ビットで創られている」という新しいアイデアを生み出し、最近では世界中で活発に研究が進められている大きな研究テーマとなっています。しかし、この発見は氷山の一角に過ぎませんでした。ずっと一般的な公式が存在することが予想されていたにも関わらず、なかなか明確な答えを得ることができなかったのです。ところが、今回、修士課程学生（梅本）の鋭い洞察
結び目理論の圏論｜日本評論社
発刊年月 2018.03 ISBN 978-4-535-78813-8 判型 A5判 ページ数 240ページ Cコード C3041 ジャンル 幾何学 難易度 テキスト：中級 紐の絡まり具合という明快な研究対象でありながら奥が深く、数学の周辺分野とも結びつきがある「結び目理論」の量子化・圏論化を紹介。 ＊類書との比較したときの嬉しいポイント： <社会人の方へ---嬉しいポイント> 大学以上の数学の勉強法が２通りが記載してある（第1章）。 全体を通して非専門家を意識して描かれている。 <大学１, 2年生の方へ---嬉しいポイント> 単体的複体（円周やトーラス）のホモロジーの具体的計算は、多くのトポロジーの本にほぼ書いてあるものの、コホモロジーはないことが多い。しかし、本書ではコホモロジーの直接的な計算が入っている（第２章：ホモロジーを理解する１週間, 予備知識、簡単な線型代数のみ）。 <高校生
勾配法は本当に鞍点近傍にはまるのか？モース理論で考えてみる - Qiita
TL;DR 勾配法はほとんどのケースで極小点に収束する（鞍点には収束しない） この事実は力学系や最適化の分野ではよく知られているが，機械学習では新しい？ 数年前にバズった勾配法の比較動画は実際の学習現象を説明できていないかも 鞍点の近傍での振舞いで差がつく？ いや，そもそも鞍点近傍に流れ込まないかも 比較動画に登場した鞍点は，実際にはまず生じないタイプかも 機械学習にも役立つモース理論 ほとんどすべての関数はモース関数 モース関数の臨界点のタイプはわずか $d+1$ 種類（$d$ は定義域次元） 安定/不安定多様体とモース・スメール複体で勾配法の流れは分かる Monkey saddleはまず現れない（もし現れても簡単に消せる） 量的な問題に関しては，結局は実験するしかない この記事を書いたきっかけ 昨夜，ある論文を見かけて，ふとこんなツイートをした． ML業界，「勾配法が鞍点に収束する確率
phykmの日記
何が起きているか まず議論の余地のない側面について： 課税事業者は、消費者等との商取引の売上のうち、10%を消費税として支払う。 その一方で、彼らは仕入れや経費においても課税事業者から税込みで購入している場合が多いため、 二重課税を避けるために、経費や仕入れの課税分は差し引きした上で、残りの部分、 ざっくり言って該当事業者の事業による付加価値分の課税額を収める事になっている。 これを仕入額控除という。 一方、免税事業者はこのような義務は課されていないので、納税義務も、仕入額控除も発生しない。 インボイス制度は、形式的には、こうした商取引の請求書に、その適用税率や税額などを記載するフォーマットを定め、 それによって仕入額控除を行うという手続きを強制するものである。この請求書自体がインボイスと呼ばれる。 したがって、制度が導入されると、インボイス以外の請求書や明細による仕入額控除ができなくなる
abc予想解決と数学の進化 - hiroyukikojima’s blog
先日、望月新一教授によるabc予想解決が、論文として正式に学術誌にアクセプトされたことが、朝日新聞一面で大々的に報道された。数学の結果がこれほど大きな紙面で報じられたのは今回が初めてような気がする。(記憶では、フェルマー予想のときも、ポアンカレ予想のときもこんなでなかったような)。とにかく、今年の数学界最大のイベントであったと思う。ぼく自身も、望月教授がネット上に論文をアップロードして騒ぎになった2012年にエントリーしているので(abc予想が解決された？ - hiroyukikojimaの日記)、この予想の解説についてはそちらで読んでほしい。あるいは、黒川信重さんの本の紹介(ＡＢＣ予想入門 - hiroyukikojimaの日記)のほうでも。 abc予想がおまけとして(系として)得られる宇宙際タイヒミュラー理論(IUT)は、聞くところによると、新しい数学言語を作り上げた、と言えるぐらいに
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https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kohno/lectures/FridayHS.pdf
ファイバー束とホモトピー｜森北出版株式会社
数理科学 2018年8月号
よみがえる非ユークリッド幾何｜日本評論社
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