位相多様体 - Wikipedia
位相幾何学という数学の分野において、位相多様体（いそうたようたい、英: topological manifold）とは、以下に定義される意味で実 n 次元空間に局所的に似ている（分離空間でもある）位相空間である。位相多様体は数学全般に応用を持つ位相空間の重要なクラスをなす。 「多様体」は位相多様体を意味することもあるし、より多くは、追加の構造を持った位相多様体を指す。例えば可微分多様体は可微分構造を備えた位相多様体である。任意の多様体は、単に追加の構造を忘れることによって得られる、台となる位相多様体を持つ。多様体の概念の概観はその記事に与えられている。この記事は純粋に多様体の位相的側面に焦点を当てる。 定義[編集] 位相空間 X が局所ユークリッド的 (locally Euclidean) とは、非負整数 n が存在して、X の任意の点がユークリッド空間 En（あるいは同じことだが実 n
大二重変形二重斜方十二面体 - Wikipedia
大二重変形二重斜方十二面体 大二重変形二重斜方十二面体（だいにじゅうへんけいにじゅうしゃほうじゅうにめんたい、英：Great disnub dirhombidodecahedron）またはスキリングの立体（すきりんぐのりったい、英：Skilling's figure）とは、幾何学上の立体の一種である。 概要[編集] J.スキリングはコンピューターを使い、一様多面体がH.S.M.コクセターらが発表した75種類で全てということを証明した。そこで、条件を緩めて一辺に任意の偶数枚の面が集まってもよいとすると、ただ一種類の新しい多面体を発見した。それがこの大二重変形二重斜方十二面体である。厳密には一様多面体には含まれず、Degenerate uniform polyhedronとして扱われる。 性質[編集] 一様多面体の条件をほとんど満たしているが、 4つの面が重なる辺があるので普通は一様多面体には
大二重斜方二十・十二面体 - Wikipedia
大二重斜方二十・十二面体 Neo filling（星型正多角形の面や、同一平面上で重なり合う面について、重なり合う部分をXOR的にくり抜いた形となっている） 大二重斜方二十・十二面体（だいにじゅうしゃほうにじゅうじゅうにめんたい、Great dirhombicosidodecahedron）または大二重変形二重二十・二重十二面体（だいにじゅうへんけいにじゅうにじゅうにじゅうじゅうにめんたい）[要出典]とは一様多面体の一種である。 この多面体は、他の一様多面体とは異なる以下のような特徴を持っている。 変形面に正方形を持つ（普通は正三角形）。 頂点に8個もの面が集まる（普通は最大6個）。 球面三角形から作れない。 基本性質 [編集] 構成面： 星型五角形24枚（2枚重なったものが12枚）、正方形60枚（2枚重なったものが30枚、赤道を通る）、正三角形40枚（2枚重なったものが20枚）、計124
一様多面体 - Wikipedia
一様多面体（いちようためんたい）とは、全ての構成面が正多角形で、かつ頂点の形状が全て合同な立体のことである。5種類の正多面体、4種類の星型正多面体、13種類の半正多面体、その他の53種類の一様多面体で総計75種類であることが、H.S.M.コクセターらによって確認され、後にJ.スキリングによって証明された。正角柱、反角柱、ミラーの立体などもこの条件を満たすが、一様多面体には含めないことが多い。 一様多面体の一覧[編集] 正多面体[編集] 画像 名前 ワイソフ記号 頂点形状
鏡映 - Wikipedia
数学における鏡映（きょうえい、英: reflection）あるいは鏡映変換とはユークリッド空間の超平面を固定点集合にもつ等長変換である。その名の通り、3次元空間内では、ある図形に鏡映変換を施したものは、平面鏡に映ったその図形の位置及び見え方と一致する。（この場合、鏡の位置が固定点集合となる） 例えば2次元ユークリッド空間では鏡映の固定点集合は直線であり、固定点集合を鏡映の軸という。逆に、与えられた直線を軸とする鏡映が定まり、直線による折り返しなどとも呼ばれる。同様に、3次元空間では与えられた平面による鏡映が定まる。 鏡映によって変わらない図形を鏡映対称（2次元図形の場合、特に線対称とも呼ぶ）である、あるいは鏡映対称性を持つなどという。特に軸が垂直な場合は左右対称とも言われる。例えばアルファベットの A や H などは垂直な軸に関して鏡映対称である。3次元の物体や現象（特に分子）が鏡映対称で
鏡像 - Wikipedia
鏡像（きょうぞう）とは一般的な意味では、鏡に映った像のこと。一般的な意味での鏡像は、数学的意味での鏡像と、光の反射の性質によってつながっている。鏡面が完全に平坦ならば鏡像は元の図形と合同になるが、凹面鏡や凸面鏡のように曲面の場合はその限りではない。 数学での鏡像[編集] 鏡映とも言う。鏡像も鏡映も2つの点や図形の間の関係を指す。また元の点や図形をその関係にある相手に移す操作(鏡映操作)を指す。その関係にある相手の図形のことをも指すが、この意味では鏡像または鏡像体がよく用いられる。 狭義には、n次元ユークリッド空間にひとつのn-1次元空間(超平面)を定めたとき、ある点をこの超平面に対して対称な点に写像する操作を言う。ここで対称な点とは、この超平面に対する垂線上にあり、垂線と超平面との交点からの距離が等しい2点のことを指す。また、この操作で互いに移る2点間の関係、つまり超平面に対して対称な点同
Theorema Egregium - Wikipedia
Theorema Egregium（ラテン語。音訳：テオーレーマ・エーグレギウム[注 1]。直訳：卓越した定理[注 2]）はカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された定理で、曲面のガウス曲率が曲面の内在的な量（リーマン計量）のみで書ける事を主張する。 日本語では 「最も素晴らしい定理」[7] 「驚異の定理」[8][9] 「Gaussの基本定理」[10] 「抜群の定理」[11] などと訳される事もあるが、egregiumには「驚異の」という意味はない[注 2]。英語では「Remarkable Theorem」（注目すべき定理）と意訳する事もある[12][13][14]。 語源[編集] 「Theorema Egregium」という語はこの定理を示したガウスの原論文から来ている： Formula itaque art. praec, sponte perducit ad egregium TH
ゲージ理論 - Wikipedia
歴史[編集] ゲージ変換の自由度を持った最初の理論は電磁気学における、1864年のマクスウェル(James Clerk Maxwell)による電磁場の公式であるが、この概念の重要性は永く気付かれないままであった。この定式化の持つ対称性の重要さは、早期の段階では注目されることがないままであった。ヒルベルト(David Hilbert)も注目することなく、一般座標変換の下の作用の不変性を詳しく調べ、アインシュタイン方程式を導出した。後日、ワイル(Hermann Weyl)が、一般相対論と電磁気学を統一しようと、スケール変換（もしくは、ゲージ変換）の下の不変性が、一般相対論の局所対称性であろうと予想した。量子力学の発展したのち、ワイル、フォック(Vladimir Fock)、ロンドン(Fritz London)が、スカラー要素を複素数値に置き換え、スケール変換を U(1) ゲージ対称性である相(
アティヤ＝シンガーの指数定理 - Wikipedia
アティヤ＝シンガーの指数定理(アティヤ＝シンガーのしすうていり、英: Atiyah–Singer index theorem)とは、スピンc多様体 の上の複素ベクトル束の間の楕円型微分作用素について、解析的指数と呼ばれる量と位相的指数と呼ばれる量とが等しいという定理である。解析的指数は与えられた楕円型微分作用素が定める偏微分方程式の解の次元を表す解析的な量であり、一方で位相的指数は微分作用素の主表象をもとにして多様体のコホモロジーを通じて定義される幾何的な量である。従って指数定理は解析学と幾何学という見かけ上異なった体系の間のつながりを与えているという意味で20世紀の微分幾何学における最も重要な定理ともいわれる。 本稿で述べる形の指数定理はマイケル・アティヤとイサドール・シンガーによって1963年に発表[1]され、1968年に証明[2] [3]が刊行された。指数定理の特別な場合として、以前
ミンコフスキー空間 - Wikipedia
この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2023年10月） ミンコフスキー空間（ミンコフスキーくうかん、英: Minkowski space）とは、非退化で対称な双線型形式を持つ実ベクトル空間である。ドイツの数学者のヘルマン・ミンコフスキーに因んで名付けられている。アルベルト・アインシュタインによる特殊相対性理論を定式化する枠組みとして用いられる。この特定の設定の下では空間に時間を組み合わせた時空を表現するため、物理学の文脈ではミンコフスキー時空とも呼ばれる。 構造[編集] (m,n)-型のミンコフスキー空間 Mm,n は、まず計量を無視して単なるベクトル空間と考えるとm-次元ユークリッド空間と n-次元ユークリッド空間の直和 Mm,n = Em⊕En と定義されるもので
Exotic sphere - Wikipedia
In an area of mathematics called differential topology, an exotic sphere is a differentiable manifold M that is homeomorphic but not diffeomorphic to the standard Euclidean n-sphere. That is, M is a sphere from the point of view of all its topological properties, but carrying a smooth structure that is not the familiar one (hence the name "exotic"). The first exotic spheres were constructed by Joh
Hopf fibration - Wikipedia
The Hopf fibration can be visualized using a stereographic projection of S3 to R3 and then compressing R3 to a ball. This image shows points on S2 and their corresponding fibers with the same color. Pairwise linked keyrings mimic part of the Hopf fibration. In the mathematical field of differential topology, the Hopf fibration (also known as the Hopf bundle or Hopf map) describes a 3-sphere (a hyp
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Symplectic group - Wikipedia
Projective linear group - Wikipedia
Spin group - Wikipedia)
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Orientability - Wikipedia
Point at infinity - Wikipedia
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Fibration - Wikipedia