空間内の3つのベクトルのなす角について
はじめに 30年前の1991年の京都大学の理系の後期試験の問題です。 空間に原点を始点とする長さ1のベクトル\overrightarrow{a}，\overrightarrow b，\overrightarrow cがある。\overrightarrow aと\overrightarrow bのなす角を\gamma，\overrightarrow bと\overrightarrow cのなす角を\alpha，\overrightarrow cと\overrightarrow aのなす角を\betaとするとき，次の関係が成り立つことを示。また，ここで等号が成立するのはどんな場合か。 0\leqq \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\leqq 1 この問題を証明していきます。 証明 \bigs
Rotations.jlで回転しよう！
回転の導入 「回転」というのは直観的なイメージ通り、物体の形状を変化させずに向きを変える変換のことです。 線形代数では、回転を直交行列で表すことができます。 ただし正確に言えば、鏡像は回転に含めたくないので行列式が1のものに限定します。 つまり R^{-1} = R^{\top} \det(R) = 1 を満たす行列Rを回転行列と呼びます。 このような行列全体は群をなすので、記号SO(n)が使われます。特殊直交群と呼ばれます。 ここでのnは正方行列の一辺のサイズで、回転が行われる空間の次元に相当します。 鏡像も含むもの、つまりn次直交行列全体は記号O(n)で表されますが、以降の本記事では登場しません。 直交行列を複素数に拡張したものとして、ユニタリ行列があります。転置{R}^{\top}の代わりに随伴{R}^{*}(転置+複素共役)を考えます。回転行列と同様に行列式が1のものを考えると都合
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