ブルブルエンジン兄貴の Twitter 圏論講義 自分用まとめ | 相転移プロダクション
このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください. 理系のための総合語学・リベラルアーツの視点から数学・物理・プログラミング・語学 (特に英語) の情報を発信しています. コンテンツアーカイブに見やすくまとめているのでぜひご覧ください. とりあえずは結論から. 【結論】圏論は具体的過ぎてクソ、formal category theoryをやろう👊 — リロード・オン・アルゴドゥー (@alg_d) 2016年4月22日 何を言っているのか全く理解できていないが, とりあえず未来の自分のためにまとめておく. 圏論の基礎でとある命題を読んだぼく「なるほど」 その証明を読んだぼく「わからん」 Kan拡張を使って自力で証明したぼく「自明」 — リ
全ての概念はKan拡張である、とは何か - algebraic dialy | 壱大整域
なにかあったらすぐtwitterに書いてしまうのであまり更新しません [an error occurred while processing this directive] 「全ての概念はKan拡張である」この言葉はそれなりに有名になったと思いますが、これがどういう意味なのか、私なりの見解をここに書いておきたいと思います。 まず「すべての概念はカン拡張である(all concepts are Kan extensions)」というのは圏論の教科書『圏論の基礎(Categories for the Working Mathematician)』(以下、この本をCWMと呼ぶ)に書いてある言葉です。CWMの前書き(初版への序)には以下のように書いてあります。 圏論の基本概念が終わりの二章にまとめられている．たとえば極限の，より差し迫って必要となる性質，特にフィルター極限の性質，「エンド」の計算，
層の定義 - tsujimotterのノートブック
最近、スキームの話をきっかけに、tsujimotterのノートブックにも「層」という概念が登場するようになりました。 ところが、これまでのブログ記事では、層の定義は頑なに避けられてきました。その理由は、私自身が理解できていなかったからです。 今回は、いよいよ層の定義をしてみたいと思います。今日のポイントは、具体例の計算です。具体例を通して、層の理解を目指しましょう。 目次： 前層（復習） 前層の例 層の定義（２つの公理） 例１：共通部分を持たない開被覆 公理１：既約性条件 公理２：閉条件 例１のまとめ 例２：共通部分を持つ開被覆 公理１：既約性条件 公理２：閉条件 例２ まとめ 完全列を用いた層の定義の言い換え まとめ 補足１：U = ∅ の場合 補足２：解析接続と閉条件 参考文献 前層（復習） 層は、後で述べる「ある特別な性質」を持った前層です。まずは前層の定義を丁寧に復習しましょう。
挿入ソートと選択ソートは双対 - Qiita
先日 Gotanda.hs #1 @HERP というイベントがあって、そこでRecursion Schemesで考える並べ替えアルゴリズムというタイトルでA Duality of Sortsという論文の話をLTしたんですが、この記事ではそこで話せなかった論文の後半で解説されている挿入ソートと選択ソートの双対性について書いていきたいと思っています。 ソートアルゴリズムの復習 まずは主役の二人である挿入ソートと選択ソートについて見ていきましょう。 挿入ソートは与えられたリストの先頭から要素を取り出し、これまでに構築したソート済みのリストに挿入していくという処理を繰り返すことでソートを実現するアルゴリズムです。 出典: Insertion sort - Wikipedia これをHaskellで実装すると以下のようになります。 insertSort :: [Int] -> [Int] inser
コモナドを使った抽象化の威力をライフゲームで試してみた - Qiita
class Functor m => Monad m where return :: a -> m a (>>=) :: (a -> m b) -> m a -> m b join :: m (m a) -> m a join = (>>= id) k >>= m = join $ fmap k m extract は return と、extend は >>= と、duplicate は join と、それぞれなんとなく反対になってるような気がしますよね？（m と w も上下反対の対応がありますねｗ） コモナドの感覚を掴むために具体的な実装を見てみましょう。 -- | List Zipper data Z a = Z [a] a [a] left, right :: Z a -> Z a left (Z (l:ls) c rs) = Z ls l (c:rs) right (Z ls c
まともな型クラス への入門： 関数型とオブジェクト指向の垣根を越えて - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2016年9月に次の記事を書きました。 関数型プログラミングとオブジェクト指向について、何か書く、かも タイトルからして引き続く記事を予告しているのですが、その予告を実行することができませんでした。タイトル中の「何か」とは「型クラス」のことです。上記の記事の最後の部分は： 関数型プログラミングにもオブジェクト指向にも関係があって、今後重要度を増すであろう「型クラス」ですが、今述べた（愚痴った）ような事情で（あと、C++のコンセプトは宙ぶらりんだし）、説明の方針も題材も定まりません。でも、いつか、何か書く、かも。 今回この記事で、予備知識をあまり仮定しないで型クラスの説明をします。言いたいことの1/3くらいは書きました。1/3でも長い記事なので、ぼちぼちと読んでもらえれば、と。書き残したことは最後に触れます。いつか、1年はたたないうちに(苦笑)、続きを書くつもりです。 内容： Haskell
スーパーモナドについて - Qiita
この記事は Haskell Advent Calendar 2017 (その1) の 10 日目の記事です。 スーパーモナド (supermonad) という気になる概念を見かけたので、ちょっと調べてみました。 スーパーモナドとは 世の中には、私たちがよく知っている普通のモナド1 以外にも、モナド的概念がいろいろと存在します。たとえば、こんなのがあります。2 指標付きモナド (indexed monad) https://hackage.haskell.org/package/indexed https://hackage.haskell.org/package/monad-param https://hackage.haskell.org/package/index-core 作用モナド (effect monad) https://hackage.haskell.org/package
「確率変数」の正体は米田埋め込み - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
確率変数（random variable, stochastic variable）という言葉の意味が分からない！ と何度か書いています。 2015-05-26 「確率変数」と言うのはやめよう 2015-05-27 「分布、測度、密度」は同じか違うか 2015-06-17 まだ「確率変数」が分からない 結局分からないままでした。「慣れ」の問題かも？ と思ったこともあります。 2015-05-28 「慣れれば分かる」問題 慣れることも出来ませんでした。 最近、「これなら納得できるかな」という解釈に出会いました。 [追記 date="翌日"]最後に分かりやすいマトメを付けました。[/追記] 内容： 「確率変数」はなぜ分からないのか アレックス・シンプソンのアイディア 「確率変数」の2つの用法 確率空間と圏Prob 測度論的確率変数 曖昧な確率変数 前層と米田埋め込み 米田埋め込みとしての確率変
アブストラクト・ナンセンス - Wikipedia
アブストラクト・ナンセンス（英：abstract nonsense、抽象的ナンセンス）とは、圏論におけるある種の概念や議論を表すのに数学者が好んで使う表現である。 この表現は数学者ノーマン・スティーンロッドによって作られたと信じられている。なおスティーンロッド自身、圏論的視点を築いた一人である。この表現は軽蔑的な称号というよりは、数学的（特に圏論的）にいかに洗練されているか、クールであるかを示すためにアブストラクト・ナンセンスの実践者自身によって用いられるものである。 数学におけるある種のアイデアや構成は多くの領域にわたって有効であり、圏論はそれらを統一的にとらえる枠組みを与える。そのような場合数学者は詳細の入り組んだ議論に立ち入らず、「何々はアブストラクト・ナンセンスにより真である」などとしてしまうのである。典型的な例としては図式追跡を用いた議論、普遍性の導入と応用、関手の自然変換の定義
帰納極限 - Wikipedia
数学における順極限（じゅんきょくげん）または直極限（ちょくきょくげん、英: direct limit）もしくは帰納極限（きのうきょくげん、英: inductive limit）は、「対象の向き付けられた族」の余極限である。本項ではまず群や加群などの代数系に対する帰納極限の定義から始めて、あらためて任意の圏において通用する一般的な定義を与える。 厳密な定義[編集] 代数系の帰納極限[編集] 本節では、対象はある決まった代数的構造（例えば群や環あるいは適当に固定された環上の加群や多元環など）をもつ集合とする。このとき準同型は、考えている代数系におけるものを考えることにする。 まず、対象と射（準同型）のなす直系または順系 (direct system) あるいは帰納系 (inductive system) と呼ばれるものの定義から始める。⟨I, ≤⟩ を有向集合とし、{Ai | i ∈ I} を
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Pullback (category theory) - Wikipedia
"Fiber product" redirects here. For the case of schemes, see Fiber product of schemes. In category theory, a branch of mathematics, a pullback (also called a fiber product, fibre product, fibered product or Cartesian square) is the limit of a diagram consisting of two morphisms f : X → Z and g : Y → Z with a common codomain. The pullback is written P = X ×f, Z, g Y. Usually the morphisms f and g a
)
空 (仏教) - Wikipedia
仏教における空（くう、梵: śūnya [シューニャ]または梵: śūnyatā [シューニャター]、巴: suññatā [スンニャター][1]）とは、一切法は因縁によって生じたものだから我体・本体・実体と称すべきものがなく空しい（むなしい）こと[2][注釈 1]。空は仏教全般に通じる基本的な教理である[2]。 原語・原義[編集] 原語はサンスクリットの形容詞 シューニャ(śūnya)、名詞形はシューニャター(Śūnyatā) で、後者は「空なること」を意味するため、しばしば空性と漢訳される[3][2]。śūnya は舜若（しゅんにゃ）と音写し、 śūnyatā は舜若多（しゅんにゃた）と音写する[2]。 シューニャ（サンスクリット語: शून्य, śūnya）は、śū (= śvA, śvi、成長・繁栄を意味する動詞）からつくられた śūna から発展し、「…を欠いていること」という
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圏論とプログラミング / Category Theory and Programming
結び目理論における圏論とコンピュータ計算
https://www.maths.ed.ac.uk/~tl/sapporo/sapporo_talk.pdf
Categorification の例