アーノルドの猫写像 - Wikipedia
写像がどのように単位正方形を延ばし、モジュロ演算に対してどのようにその断片が再構成されるかを図示したもの。矢印のついた直線は、固有空間が縮小および拡大される方向を表す。 数学におけるアーノルドの猫写像（アーノルドのねこしゃぞう、英: Arnold's cat map）は、トーラスからそれ自身へのあるカオス写像で、1960年代に猫の画像を使ってその効果を示したウラジーミル・アーノルドの名にちなむ[1]。 商空間 としてのトーラス を考える。アーノルドの猫写像は、次の式で与えられる変換 である： また同値であるが、行列を使うと次のように表すことも出来る： すなわち、単位長は正方形の像の幅と等しいものとして、この像は 1 単位上にせん断された後、1 単位右にせん断され、単位正方形の外側にあるものはすべてその内側に来るように戻される。 性質[編集] Γ は行列式が 1 であるため、可逆であり、その
Histogram - Wikipedia
For the histogram used in digital image processing, see Image histogram and Color histogram. A histogram is a visual representation of the distribution of quantitative data. The term was first introduced by Karl Pearson.[1] To construct a histogram, the first step is to "bin" (or "bucket") the range of values— divide the entire range of values into a series of intervals—and then count how many val
位相多様体 - Wikipedia
位相幾何学という数学の分野において、位相多様体（いそうたようたい、英: topological manifold）とは、以下に定義される意味で実 n 次元空間に局所的に似ている（分離空間でもある）位相空間である。位相多様体は数学全般に応用を持つ位相空間の重要なクラスをなす。 「多様体」は位相多様体を意味することもあるし、より多くは、追加の構造を持った位相多様体を指す。例えば可微分多様体は可微分構造を備えた位相多様体である。任意の多様体は、単に追加の構造を忘れることによって得られる、台となる位相多様体を持つ。多様体の概念の概観はその記事に与えられている。この記事は純粋に多様体の位相的側面に焦点を当てる。 定義[編集] 位相空間 X が局所ユークリッド的 (locally Euclidean) とは、非負整数 n が存在して、X の任意の点がユークリッド空間 En（あるいは同じことだが実 n
宇宙の形 - Wikipedia
宇宙の形（うちゅうのかたち、英: shape of Universe）は、宇宙の幾何学を記述する宇宙物理学のテーマの一つのくだけた呼び名である。宇宙の幾何学は局所幾何と大域幾何の両方からなる。宇宙の形は、おおざっぱには曲率と位相幾何学により分けられ、厳密にはその両方の範疇をはみ出ている。より形式には、このテーマは、どの3-多様体が、4次元の時空の共動座標（英語版）の空間区分に対応するのかを調べることにある。 時空の形、宇宙の曲率、時空の曲率とも呼ばれる。 導入[編集] 宇宙の形の考え方は、2つに分けられる。1つは、宇宙のどこでも、とりわけ観測可能な宇宙の曲率に関連した局所幾何（英: local geometry）であり、もう1つは、「観測可能とは限らない」宇宙全体の位相幾何学に関連した大域幾何（英: global geometry）である。 宇宙研究者は、通常、共動座標系と呼ばれる、時空の
ルジンの問題 - Wikipedia
ルジンの問題（Luzin - のもんだい）とは、正方形に関してニコライ・ルジン (Nikolai Luzin) が考えた問題である。 「任意の正方形を、2個以上の全て異なる大きさの正方形に分割できるか」という問題であり、ルジンはこの問題の解は存在しないと予想したが、その後いくつかの例が発見された。 最小の解[編集] 21個の正方形に分割 最小の解は21個で、A. J. W. Duijvestijn がコンピュータを使って発見し、それが最小の解であることを証明した[1]。1辺 112 の正方形を、一辺の長さがそれぞれ 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42, 50 の計21枚の正方形で、隙間なく埋めつくすことができる。(オンライン整数列大辞典の数列 A014530) 正方形を上辺から順番
ディラックのデルタ関数 - Wikipedia
数学におけるディラックのデルタ関数（デルタかんすう、（英: delta function）、または制御工学におけるインパルス関数（インパルスかんすう、（英: impulse function）とは、任意の実連続関数 に対し、 を満たす実数値シュワルツ超関数 δ のことである。これはクロネッカーのデルタ の自然な拡張になっている。 ディラックのデルタ関数はデルタ超関数（英: delta distribution）あるいは単にディラックデルタ（英: Dirac's delta）とも呼ばれる。これを最初に定義して量子力学の定式化に用いた物理学者ポール・ディラックに因み、この名称が付いている。デルタ関数は古典的な意味での関数ではないシュワルツ超関数（英: distribution）の最初の例になっている。 ディラックのデルタの「関数」としての性質は、形式的に次のように述べることができる。まず、f(
マトロイド - Wikipedia
マトロイド（英: matroid）は、ある公理を満たす集合とそのべき集合の部分集合の組である。歴史的には、行列の一次独立・従属を一般化した概念であるが、多くの組合せ最適化問題をマトロイドあるいはより緩い独立性システムとコスト関数で定式化でき、特徴付けを行える等応用範囲は広い。特に組合せ最適化において、マトロイド上の最適化問題には単純な貪欲法によって多項式時間のアルゴリズムとは限らないものの最適解が得られることは非常に重要である。 定義[編集] E = {1, 2, 3} におけるそれぞれの例。左は(A1),(A2),(A3)を満たすからマトロイド。中央は(A1),(A2)を満たすから独立性システム。右は(A1),(A3)を満たすからグリードイド。 有限集合 E とその部分集合族 の組 (E, F) が[注 1] (A1) (A2) (A3) を満たすとき、マトロイドと呼ばれ、(A1) およ
準天頂衛星 - Wikipedia
この項目では、準天頂軌道衛星に関する一般的説明について説明しています。日本の衛星計画については「準天頂衛星システム」をご覧ください。 この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "準天頂衛星" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2018年3月） 日本上空を通る準天頂軌道（非対称8の字軌道） 準天頂衛星（じゅんてんちょうえいせい、quasi-zenith satellites, QZS）は、準天頂軌道（じゅんてんちょうきどう、quasi-zenith orbit）、すなわち特定の一地域の上空に長時間とどまる軌道をとる人工衛星。通常は複数の準天頂衛星が見かけの同一軌道上を周回
次元の呪い - Wikipedia
次元の呪い（じげんののろい、英: The curse of dimensionality）という言葉は、リチャード・ベルマンが使ったもので、（数学的）空間の次元が増えるのに対応して問題の算法が指数関数的に大きくなることを表している。 例えば、単位区間をサンプリングするには100個の点を等間隔で、かつ点間の距離を 0.01 以上にならないように配置すれば十分である。同じようなサンプリングを10次元の単位超立方体について行おうとすると、必要な点の数は 1020 にもなる。したがって、10次元の超立方体はある意味では単位区間の1018倍の大きさとも言える。 高次元ユークリッド空間の広大さを示す別の例として、単位球と単位立方体の大きさを次元を上げながら比較してみればよい。次元が高くなると、単位球は単位立方体に比較して小さくなっていく。したがってある意味では、ほとんど全ての高次元空間は中心から遠く、
折り紙公理 - Wikipedia
折り紙公理（おりがみこうり、折紙公理）は折り紙幾何学の一連の規則であり、紙を折るときに理論上厳密に可能である、基本的な操作を記述している[1]。紙の厚さは無いものとし、伸縮しないものとする[1]。折りの操作は平面で完結し、全ての折り線は直線であると仮定する[1]。折り紙公理は数学的な意味での公理の要件を満たすものではない[要説明][1]。 公理は最初、1989年にジャック・ジュスタン (Jacques Justin) によって発見された[2]。その後公理1から6は藤田文章によって1991年に再度発見された[3]。また、公理7は羽鳥公士郎によって2001年に再発見された[4]。またロバート・J・ラングも公理7を再発見している。 7つの公理[編集] 公理1から6は藤田の折り紙公理として知られる。公理7は羽鳥公士郎によって再発見された。公理は以下である: 2点p1, p2が与えられたとき、2点を
Tessellation - Wikipedia
"Tessellate" redirects here. For the song, see Tessellate (song). For the computer graphics technique, see Tessellation (computer graphics). A tessellation or tiling is the covering of a surface, often a plane, using one or more geometric shapes, called tiles, with no overlaps and no gaps. In mathematics, tessellation can be generalized to higher dimensions and a variety of geometries. A periodic
インド・バングラデシュ国境の飛地群 - Wikipedia
クーチ・ビハール市（インド）付近の状況。地図は東を上にしており、右（南）がバングラデシュ（緑）、左（北）がインド（橙）。 「飛び地の中の飛び地の中の飛び地」ダハラ・カグラバリ インド・バングラデシュ国境の飛地群（インド・バングラデシュこっきょうのとびちぐん、英: India–Bangladesh enclaves）は、インド（西ベンガル州クーチ・ビハール県）とバングラデシュ（ラジシャヒ管区）との国境線をまたいで散在した双方の飛地。入り組んだ国境線に加え、非常に多くの飛地が互いの領土内に存在することで、錯綜した状況になっていた。2015年8月1日、領土交換で解消された。 この一帯の総称はないが、日本にはインド側の県名を採り、クーチ・ビハール（Cooch Behar, Koch Bihar）の名で紹介されている[1]。 概要[編集] インドの西ベンガル州クーチ・ビハール県とバングラデシュのラジ
ソファ問題 - Wikipedia
面積 π/2 + 2/π = 2.2074... の受話器の形をしたソファ。これは最大ではない。 ソファ問題（ソファもんだい）は数学の未解決問題のひとつ。1966年にレオ・モーザー（英語版）によって問題が提示された。この問題は「L字型の通路を通り抜けることができる、ソファの面積の最大値 A を求めよ」という離散幾何学、数学パズルの問題である。これは、数学上の未解決問題となっている。 A の下界と上界[編集] 下界[編集] 通路の幅が1であるとき、半径1の半円はL字型の通路を通すことができるので、Aの下界の一つとして が容易に得られる。 ジョン・ハマーズレイ（英語版）はより優れたAの下界の一つを発見した。の長方形の両脇に半径1の四分円を接合させた図形から、直径 の半円をくりぬいた受話器型のソファで、 となる[1][2]。 18の線からなるジャーバーのソファー 1992年にジョセフ・ジャーバー
二面体群 - Wikipedia
例えば、S2S1 = R1 であるのは、S1 を施した後に続けて S2 を施すと 120°の回転になることを意味している（ここでは、右から変換を行う流儀を採用している）。他方、S1S2 = R2 であるから、この演算は可換ではない。 行列による表現[編集] 正多角形の中心を座標平面の原点に置けば、それを不変とする合同変換は線型写像と見なせる。これによって、Dn の各々の元は、行列で表すことができ、変換の合成は行列の積に対応する。これは、群の忠実表現の一例である。 例えば D4 は、次の8つの行列から成る。 一般に、Dn は (k = 0, 1, …, n - 1) の 2n 個の行列からなる。Rk は反時計回りに 2πk/n だけの回転を表す回転行列、Sk は x 軸と πk/n の角度を成す直線に関する対称移動を表す行列である。 このとき、これらの間の合成は以下の公式で与えられる。 ただ
大二重変形二重斜方十二面体 - Wikipedia
大二重変形二重斜方十二面体 大二重変形二重斜方十二面体（だいにじゅうへんけいにじゅうしゃほうじゅうにめんたい、英：Great disnub dirhombidodecahedron）またはスキリングの立体（すきりんぐのりったい、英：Skilling's figure）とは、幾何学上の立体の一種である。 概要[編集] J.スキリングはコンピューターを使い、一様多面体がH.S.M.コクセターらが発表した75種類で全てということを証明した。そこで、条件を緩めて一辺に任意の偶数枚の面が集まってもよいとすると、ただ一種類の新しい多面体を発見した。それがこの大二重変形二重斜方十二面体である。厳密には一様多面体には含まれず、Degenerate uniform polyhedronとして扱われる。 性質[編集] 一様多面体の条件をほとんど満たしているが、 4つの面が重なる辺があるので普通は一様多面体には
大二重斜方二十・十二面体 - Wikipedia
大二重斜方二十・十二面体 Neo filling（星型正多角形の面や、同一平面上で重なり合う面について、重なり合う部分をXOR的にくり抜いた形となっている） 大二重斜方二十・十二面体（だいにじゅうしゃほうにじゅうじゅうにめんたい、Great dirhombicosidodecahedron）または大二重変形二重二十・二重十二面体（だいにじゅうへんけいにじゅうにじゅうにじゅうじゅうにめんたい）[要出典]とは一様多面体の一種である。 この多面体は、他の一様多面体とは異なる以下のような特徴を持っている。 変形面に正方形を持つ（普通は正三角形）。 頂点に8個もの面が集まる（普通は最大6個）。 球面三角形から作れない。 基本性質 [編集] 構成面： 星型五角形24枚（2枚重なったものが12枚）、正方形60枚（2枚重なったものが30枚、赤道を通る）、正三角形40枚（2枚重なったものが20枚）、計124
一様多面体 - Wikipedia
一様多面体（いちようためんたい）とは、全ての構成面が正多角形で、かつ頂点の形状が全て合同な立体のことである。5種類の正多面体、4種類の星型正多面体、13種類の半正多面体、その他の53種類の一様多面体で総計75種類であることが、H.S.M.コクセターらによって確認され、後にJ.スキリングによって証明された。正角柱、反角柱、ミラーの立体などもこの条件を満たすが、一様多面体には含めないことが多い。 一様多面体の一覧[編集] 正多面体[編集] 画像 名前 ワイソフ記号 頂点形状
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生成 (数学) - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "生成" 数学 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2015年11月） 数学における生成（せいせい、generate）とは、与えられた対象と条件に対して、その条件を満たしかつ与えられた対象を全て含むような最小の構成物を求めることである。このとき与えられた対象の集まりを生成系（生成集合）(generating set) といい、生成集合の各元を生成元 (generator) という。また、「最小の構成物」は生成系から生成されるという。生成系が1つの対象からなるような場合には、生成系と生成元は同一視できる。 例[編集] 生成された群
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Isomer - Wikipedia
Spin group - Wikipedia