数学の統一理論 - Wikipedia
この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2023年8月） 正確性に疑問が呈されています。（2023年10月） 出典検索?: "数学の統一理論" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL 数学の統一理論（すうがくのとういつりろん、英: unified theory of mathematics）に到達するためのいくつかの試みが歴史的に行われてきた。数学者は、すべての主題（科目）は一つの理論に収まるべきであるという明確な展望を抱いている。[要出典] 歴史的側面[編集] 統一化のプロセスには、統制のための規律として「数学を構成するところのものは何であるのか」を定義することが一つの助け
アブストラクト・ナンセンス - Wikipedia
アブストラクト・ナンセンス（英：abstract nonsense、抽象的ナンセンス）とは、圏論におけるある種の概念や議論を表すのに数学者が好んで使う表現である。 この表現は数学者ノーマン・スティーンロッドによって作られたと信じられている。なおスティーンロッド自身、圏論的視点を築いた一人である。この表現は軽蔑的な称号というよりは、数学的（特に圏論的）にいかに洗練されているか、クールであるかを示すためにアブストラクト・ナンセンスの実践者自身によって用いられるものである。 数学におけるある種のアイデアや構成は多くの領域にわたって有効であり、圏論はそれらを統一的にとらえる枠組みを与える。そのような場合数学者は詳細の入り組んだ議論に立ち入らず、「何々はアブストラクト・ナンセンスにより真である」などとしてしまうのである。典型的な例としては図式追跡を用いた議論、普遍性の導入と応用、関手の自然変換の定義
ホモロジー代数学 - Wikipedia
ホモロジー代数学における基本的な結果である蛇の補題で用いられる図式。 ホモロジー代数学（ホモロジーだいすうがく、英: homological algebra）は、一般の代数的な設定のもとでホモロジーを研究する数学の分野である。それは比較的新しい分野であり、その起源は19世紀の終わりの、組み合わせ論的トポロジー（英語版）（代数トポロジーの前身）と抽象代数学（加群や syzygy（英語版） の理論）の、主にアンリ・ポアンカレとダフィット・ヒルベルトによる研究にまでさかのぼる。 ホモロジー代数学の発展は圏論の出現と密接に結びついている。概して、ホモロジー代数はホモロジー的関手とそれから必然的に生じる複雑な代数的構造の研究である。数学においてきわめて有用で遍在する概念の1つはチェイン複体 (chain complex) の概念であり、これはそのホモロジーとコホモロジーの両方を通じて研究できる。ホモ
自己同型 - Wikipedia
原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 数学において自己同型（じこどうけい、英: automorphism）とは、数学的対象から自分自身への同型射のことを言う。ある解釈においては、構造を保ちながら対象をそれ自身へと写像する方法のことで、その対象の対称性を表わしていると言える。対象の全ての自己同型の集合は群を成し、自己同型群(automorphism group)と呼ばれる。大まかにいえば、自己同型は、対象の対称群である。 定義[編集] 自己同型の正確な定義は「数学的対象」の種類や、その対象上の「同型射」の定義によって変化する。「自己同型」という言葉が意味を持つ最も一般性の高い領域は圏論と呼ばれる数学の抽象的な分野である。圏は、抽象的な対象(object)とそ
帰納極限 - Wikipedia
数学における順極限（じゅんきょくげん）または直極限（ちょくきょくげん、英: direct limit）もしくは帰納極限（きのうきょくげん、英: inductive limit）は、「対象の向き付けられた族」の余極限である。本項ではまず群や加群などの代数系に対する帰納極限の定義から始めて、あらためて任意の圏において通用する一般的な定義を与える。 厳密な定義[編集] 代数系の帰納極限[編集] 本節では、対象はある決まった代数的構造（例えば群や環あるいは適当に固定された環上の加群や多元環など）をもつ集合とする。このとき準同型は、考えている代数系におけるものを考えることにする。 まず、対象と射（準同型）のなす直系または順系 (direct system) あるいは帰納系 (inductive system) と呼ばれるものの定義から始める。⟨I, ≤⟩ を有向集合とし、{Ai | i ∈ I} を
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Pullback (category theory) - Wikipedia
"Fiber product" redirects here. For the case of schemes, see Fiber product of schemes. In category theory, a branch of mathematics, a pullback (also called a fiber product, fibre product, fibered product or Cartesian square) is the limit of a diagram consisting of two morphisms f : X → Z and g : Y → Z with a common codomain. The pullback is written P = X ×f, Z, g Y. Usually the morphisms f and g a
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層 (数学) - Wikipedia
数学における層（そう、英: sheaf[注 1], 仏: faisceau）とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの貼り合わせ可能性によって定式化される。 層は局所と大域をつなぐことばであり、装置である。層のことばを使って多様体やリーマン面などの幾何学的対象が定義できる。曲面の向きや微分形式も層のことばで定義できる。 例として、位相空間上の連続関数を考える。位相空間の各集合に対しそこで定義された連続関数の環が定まり、開集合の包含関係に対し定義域を制限することで定まる写像は環の射である。 さらに、局所的に定義された連続関数の族が大域的な関数を定義するならば、その関数は連続関数である。層の定義は、この2つの性質を抽象化したものである[1]。 より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は前層
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空 (仏教) - Wikipedia
仏教における空（くう、梵: śūnya [シューニャ]または梵: śūnyatā [シューニャター]、巴: suññatā [スンニャター][1]）とは、一切法は因縁によって生じたものだから我体・本体・実体と称すべきものがなく空しい（むなしい）こと[2][注釈 1]。空は仏教全般に通じる基本的な教理である[2]。 原語・原義[編集] 原語はサンスクリットの形容詞 シューニャ(śūnya)、名詞形はシューニャター(Śūnyatā) で、後者は「空なること」を意味するため、しばしば空性と漢訳される[3][2]。śūnya は舜若（しゅんにゃ）と音写し、 śūnyatā は舜若多（しゅんにゃた）と音写する[2]。 シューニャ（サンスクリット語: शून्य, śūnya）は、śū (= śvA, śvi、成長・繁栄を意味する動詞）からつくられた śūna から発展し、「…を欠いていること」という
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トポス (数学) - Wikipedia
数学におけるトポス（topos）とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である。アレクサンドル・グロタンディークによるヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、数論的な図形（スキーム）の上で有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる細かい「位相」を考えるために導入された。 その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。 定義[編集] 有限極限を持つ圏 Eがカルテシアン閉であるとは、任意の対象XについてXと直積を取る関手X × -: E→Eに右随伴関手(-)X: E→Eが存在する事をいう。 例えば集合の圏Setsや有限集合の圏FinSetsはカルテシアン閉だが位相空間の圏Topはカルテシアン閉でない。 一般に圏 E の対象Aの部分対象とはコドメインがAであるモノ射の同型類の事を言う。モノ射の引き戻しがモノ射になる事
米田の補題 - Wikipedia
米田の補題（よねだのほだい、英: Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変あるいは反変hom関手 hom(A , _), hom(_, A) から集合値関手 F への自然変換と、値となる集合 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた[1][2][3]。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという[4]。ただし、エミリー・リール（英語版）によれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは Grothendieck (1960) である[5]。 米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」[6]「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもし
普遍性 - Wikipedia
この項目では、圏論を中心とした数学におけるuniversalityについて記述しています。「普遍性」の語義については、ウィクショナリーの「普遍」の項目を、「universal」の語義については、ウィクショナリーの「universal」の項目をご覧ください。 数学において普遍性（英語: universality、または universal property）とは、ある特定の状況下において一意に射（あるいは準同型、構造を保つ写像）を定めるような抽象的性質で、それが特定の構成（例えば直積や直和、加群のテンソル積、距離空間の完備化など）を特徴づけるようなものをいう。 普遍性の具体例となる構成には他にも、様々な構成における自由対象（英語版）、核や余核、順極限および逆極限、群に対するアーベル化、集合や様々な空間に対する引き戻しや押し出し（英語: pushout）、ストーン－チェックのコンパクト化などが
圏論 - Wikipedia
圏論（けんろん、英: category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。サミュエル・アイレンベルグ と ソーンダース・マックレーンとによって代数的位相幾何学の基本的仕事の中で20世紀中ごろに導入された。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。 数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。 概要[編集] 圏の研究は、関連する様々なクラスの数学的構造に共通する性質を見出そうとする試みだといえる。
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Mapping cone (homological algebra) - Wikipedia