有理数の付番 - 簡潔なQ
概要 有理数の付番の計算しやすい定義を与えた。 はじめに 有理数 () は自然数 () と同じくらいの個数しかない(可算)というのはよく知られています。これは通常、以下のような理屈で納得されます。 のように付番することで、 は と同じくらいしかないことがわかる。 のように付番することで、 は と同じくらいしかないことがわかる。 は分子と分母の組で表せるので、 と同じかそれより少ないとわかる。 一方、自然数はそのまま有理数なので、 は と同じかそれより少ないとわかる。 したがって、 と は同じくらいしかない (この推論をCantor-Bernstein-Schröderの定理という) しかし以下のようにすると、具体的な付番を与えることができます: 了解1.1 は0以上の整数全てからなる集合を指すこととする。自然数という言葉も同様の意味で用いる。 また、 を1以上の整数全てからなる集合とする。
Grundy数（Nim数, Nimber）の理論
■「競プロでのゲーム問題って得意？」 ●「ゲーム問題ですか。ものによりますけど、Grundy 数で解ける問題は得意ですね。先輩は得意ですか？」 ■「その Grundy 数がよくわからないんだよね。最後から逆にたどると解ける問題とかは分かるんだけど、Grundy 数の何が嬉しいのかよくわからない」 ●「じゃあ今日はGrundy数のお話をしましょうか」 Grundy数を扱えるゲーム ●「Grundy 数は、ゲームの局面に非負整数を割り当てて必勝法や勝敗判定を行うというものです」 ■「ゲームなら何でも Grundy 数が使えるの？」 ●「そういうわけではないんですが、競プロで出てくるゲームなら使えるものは多いですね」 ■「何か必要条件があるってこと？」 ●「はい。公平ゲーム（不偏ゲーム）と呼ばれるゲームである必要があります。それにはこんな条件が必要です」 2人のプレーヤーは、terminal p
Steve Awodey の Category Theory を読む - 俺の Colimit を越えてゆけ
はじめに 前回の記事では、圏論を学習する上では数学の基礎から学習する必要があると述べました。 一方で、そんなに時間をかけていられない、かけられないといった理由から数学の素養が十分に身についていない状態で Category Theory (Oxford Logic Guides) を読み始めたいという人もいるでしょう。そのような人向けにこの本の副読本のような内容の記事を書いていこうと思います。 この本は十分にわかりやすい本なので解説の部分で内容を追加するようなことはしません。書籍の中で証明はされているけれども十分に明らかとは言えない箇所や、残りは読者に任せるとして省略されている箇所を中心に証明を追加していこうと思います。特に Chapter 1 では数学書を読む場合に自分で手を動かして補いながら読まないといけない箇所がどういう箇所なのか初学者にもわかるように書いていこうと思います。 この記事
数学科の人にお勧めしたい数学書 - メモ的ななにか
調べるといろんな人がお勧めの数学書を書いているけれど，自分が読んでいた本がほとんど挙げられていなかったので書いてみることにしました． ちなみに筆者の専門は複素幾何です． (ほとんど)読んでないけど良さげだなと思ったり良い評判を聞いてる本は(*)付きで書いています． 勉強する本を選ぶときの参考になれば． 線形代数 (1)齋藤 正彦著 『線型代数入門』(東京大学出版会) (2)(*)永田 雅宜著『理系のための線型代数の基礎』(紀伊国屋書店) (3)斎藤 毅著『線型代数の世界―抽象数学の入り口』(東京大学出版会) (1),(2)はオーソドックスな線形代数の教科書．(2)は終結式について触れられており，一時期頻繁に参照した． (3)はちょっと難しめの本で定義が通常と異なる場合がところどころある．最初にこの本で勉強するのは少し難しいかもしれないが，非常に詳しく書いてあるのである程度線型代数を使うよう
数学界に大論争を呼んだ選択公理
数学界に大論争を呼んだ選択公理(1/2) 2015/01/12 数学に「選択公理」と言うのがあります。 これはZFC公理体系、すなわち現代数学を支える 大黒柱の一本とされるほどの超超超重要な公理です。 しかしながら 「・・・・もしかしたら選択公理は矛盾を含むかも（しれない）。危ないからしばらく選択公理の使用は禁止」 との疑惑が勃発し、 「選択公理は採用するべきだ/しないべきだ」と 過去の数学界を真っ二つにするほどの大論争を呼びました。 ちなみにZFCのCはAxiom-of-Choice。すなわち選択公理。 Cだけ最後にちょこーっと付け加えられてるのは この争いに争って、 「ZFが基本だから。使いたい人だけオプションで選択公理を使えばいいよ」って事になったからです。^^; 数学の大前提ZFC公理体系の名前に 傷跡を残したぐらい、 大変ないきさつのあった公理です。 それを解説します。 ----
藤井四段で学ぶ最尤推定、MAP推定、ベイズ推定 - Qiita
藤井四段の連勝が止まらないですね。 21日の対局に勝利して、連勝記録を１位タイの28連勝まで伸ばしてきました。26日の対局で勝利すれば単独トップになります。 そんな藤井四段の対戦成績は28勝0負。勝率でいうと1.000です。クラクラするような成績ですが、この「勝率」とは何かを少し数学的にみてみましょう。 単純に言葉だけをみると「藤井四段が勝利する確率」ではないかと考えられます。つまり $$P(\text{勝利}\ |\ \text{藤井四段}) = 1.0$$かのように感じます。 ではここで、26日の対局で藤井四段が勝利する確率はどれだけでしょう？ $P(\text{勝利}\ |\ \text{藤井四段}) = 1.0$として考えると、これはつまり藤井四段は必ず勝つので、100%になってしまいます。しかし、もちろんそんなことはありません。藤井四段ですらも負けることはあるはずです。 実はここ
ざっくり学ぶ可換環論 - arXiv探訪
また動画でも作ろうかと思い立ち、流石に無計画過ぎた前回を反省して事前に準備をしていこうかなと思います。意外に再生されてるので需要はゼロではないはず。題材は可換環論にしようと考えていますが、ゴールの設定はどこにしようか……。個人的な試みとして、イデアル論的な話（内部構造）と加群（ホモロジー代数）的な話（外部表現）を並行して述べたら面白いんじゃないかと考えていて、それを実践してみようという感じです。自分の勉強も兼ねてですが。 現在は7回分の原案が出来ていて、次の投稿から1回分ずつ解説記事を挙げる予定です。動画作りはその後です。動画は例を中心にして、恐らく飛ばすであろう証明は解説記事で行うことで住み分けできると考えています。 0.集合と写像 1.環とイデアル 2.加群 3.素イデアルと整域 4.ネーター加群 5.多項式環 6.自由加群 7.ヒルベルトの基底定理 8.代数と次数付き環 9.斉次イデ
時系列分析ハンドブック ｜朝倉書店
T. S. Raoほか編“Time Series Analysis : Methods and Application” （Handbook of Statistics 30, Elsevier）の全訳。時系列分析の様々な理論的側面を23の章によりレビューするハンドブック。〔内容〕ブートストラップ法／線形性検定／非線形時系列／マルコフスイッチング／頑健推定／関数時系列／共分散行列推定／分位点回帰／生物統計への応用／計数時系列／非定常時系列／時空間時系列／連続時間時系列／スペクトル法・ウェーブレット法／Rによる時系列分析／他。 ★急速な発展を遂げる時系列分析の最前線を俯瞰 ○時系列分析の近年の展開をレビューする最新ハンドブックの全訳． Time Series Analysis: Methods and Applications Edited by T. Subba Rao, S. Subba
帝国興亡方程式と歴史の枢軸 - researchmap
歴史を見渡すと、諸民族の興亡や王朝の交代が頻繁で、人の世の移り変わりは諸行無常、定めなきことが定めであるようにも見える。それでも歴史書を紐解き、国々の変遷をやや仔細に見るならば、定めなき定めには、定めないなりの何か、定めとまでは言わずとも、類型や典型といったものがあることに、気付かざるをえない。 国は起こり国は滅ぶ。その間２００年３００年、通常長くて５００年。歴史に名を残すほどの民族は大をなしてのち、一度傾きかけた国を再興させ大帝国を築いてから、やがて黄昏の夕陽のごとく緩やかに傾いていく。 なぜ栄えた国が永続することなく傾いていくのかというのは、古来からの多くの史書の議論の的であって、これは当然歴史家に限らず、歴史に学んで自らの行く末を考えようとする万人の関心事である。 個々の事象の連鎖を超えた、国家興亡の必然のダイナミクスが存在するのではないか、ということを初めてめて明快に論じたのは、１
プリンストン 数学大全 ｜朝倉書店
「数学とは何か」「数学の起源とは」から現代数学の全体像，数学と他分野との連関までをカバーする，初学者でもアクセスしやすい総合事典。プリンストン大学出版局刊行の大著「The Princeton Companion to Mathematics」の全訳。ティモシー・ガワーズ，テレンス・タオ，マイケル・アティヤほか多数のフィールズ賞受賞者を含む一流の数学者・数学史家がやさしく読みやすいスタイルで数学の諸相を紹介する。「ピタゴラス」「ゲーデル」など96人の数学者の評伝付き。 「数学愛好者にとっての優れた道しるべとして」 森重文先生（京都大学教授，国際数学連合総裁，1990年フィールズ賞受賞）ご推薦 「数学愛好者にとっての優れた道しるべとして，プロの数学者にとっては専門外の分野の理解に，本書は頼りになる一冊である．古今東西の数学を見渡し，多岐にわたる分野を網羅して，それぞれ選りすぐりの世界的権威が分
とれるだけ仕事をとってはいけない : タイム・コンサルタントの日誌から
最初に、損益分岐点の説明からはじめよう。企業は、製品やサービスを売って売上を得る。しかし、世の中にタダの物はないので、そこには必ず費用（原価）が発生する。その費用が製品の販売数量に単純に比例する場合、企業は売上に比例した利益を得ることになる。この関係を図(a)に示す。横軸は、売上である。工場の視点から言うと、売上向上すなわち稼働率向上を意味するから、横軸は稼働率と見てもよい。縦軸は金額で、実線が売上高を、点線が費用を示す。費用は純粋に、売上高に比例する。これを変動費ともいう。売上に伴って、変動するからである。たとえば製品を作るのに必要な原材料の購入費がそうだ。あるいは、製品を加工するための外注費などもそうだ。 ところが、企業にはこれとは別に、売上高にまったく関係なく、固定的に発生する費用がふつうある。これを固定費という。その典型例は、設備機械の減価償却費である。あるいは、従業員の給料なども
全ての素数の積が偶数なのが納得がいかない数学徒たち
Abstract We generalize the classical definition of zeta-regularization of an infinite product. The extension enjoys the same properties as the classical definition, and yields new infinite products. With this generalization we compute the product over all prime numbers answering a question of Ch. Soulé. The result is 4π2. This gives a new analytic proof, companion to Euler’s classical proof, that
回転行列の表現方法
行列計算 This page has been moved to tech0007.html 3次元図形変換の行列表現について解説する。 平行移動 拡大・縮小、反転 x軸まわりに角度αだけ回転した場合 y軸まわりに角度βだけ回転した場合 z軸まわりに角度γだけ回転した場合 Euler角αβγで回転する場合 ロール(φ)ピッチ(θ)ヨー(ψ)で回転する場合 ベクトルの方向=回転軸,ベクトルの長さ=回転量で回転する場合（ロドリゲスの公式） 正規化されていないベクトルをv=(vx,vy,vz)、回転量をθ=|v|とする。 θが0に近い場合． 任意の単位ベクトル(vx,vy,vz)まわりにθ回転する場合（ロドリゲスの公式） 単位ベクトルv=(vx,vy,vz)を回転軸、回転量をθとする。 任意の単位ベクトル(nx,ny,nz)まわりにθ回転する場合 4元数(Quaternion)で回転する場合 4
ベクトルの回転 [物理のかぎしっぽ]
ある軸の回りに，グルリとベクトルを回転させるとどうなるかを考えます．ベクトルの計算としては，内積，外積，ベクトルの射影が出てきます．忘れてしまった人は先に もう一度ベクトル を復習してみて下さい．最初に有限回転(回転の大きさが無視できない)の場合を考えます．次に，有限回転の式から微小回転(回転が十分小さい)の場合の式を導きます．この二つの式を導くのが本稿の目的です． ベクトルの有限回転 ベクトル を， と並行ではない単位ベクトル の回りに，角度 だけ回転させたものを とします．回転の方向はネジを回すとベクトル の方向にネジが進むような方向です．つまりは，次の図のような状況を考えているわけです．目標は， を , , で表すことです．頑張りましょう． 一気に最後まで書いてしまいましたが，ここでの計算は大丈夫でしょうか．途中で，ベクトルの射影と外積を使っています．一応，何がどうなっているのか，説
![ベクトルの回転 [物理のかぎしっぽ]](https://cdn-ak-scissors.b.st-hatena.com/image/square/bca29326ae25157b7daf114d87f350363df5e7e5/height=288;version=1;width=512/http%3A%2F%2Fhooktail.sub.jp%2FmathInPhys%2FvectorRot%2FJoh-Rot2.gif)
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第3章 位相空間の基礎のキソ
The Matrix Cookbook
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プログラミングのための線形代数 | オーム社 eBook Store
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