謎の2つの関数を使ってガウス積分を求める - Corollaryは必然に。
#今日の推し関数は次の2つの関数です。 \begin{align*} f(t)&=\left(\int_{0}^{t}e^{-x^{2}}dx\right)^{2}\\ g(t)&=\int_{0}^{1}\frac{e^{-\left(1+x^{2}\right)t^{2}}}{1+x^{2}}dx \end{align*}どちらも$x$で積分しているので、$t$の関数となっていることにご注意ください。 式を見ただけでは「何じゃこれ？」という感じですが、なんと$f+g$は定数関数になります。 命題任意の$t\in\mathbb{R}$に対して\begin{equation}\label{1} \left(\int_{0}^{t}e^{-x^{2}}dx\right)^{2} + \int_{0}^{1}\frac{e^{-\left(1+x^{2}\right)t^{2}}}{1+x^{
すべての自然数を「2±3±5±…±(k番目の素数)」の形で表す - Corollaryは必然に。
2021年9月23日に行われたロマンティック数学ナイト@オンライン #16 で 「オンライン整数列大辞典の未解決問題が解けた話」 というプレゼンをさせていただきました。今回の話はこのイベントで紹介した未解決問題の解説および証明になります（おせーよ）。 素数ものさしってご存知でしょうか？その名の通り、目盛りが素数しかないものさしで、現在でも京大生協でのみ販売されています*1。 素数ものさしのイメージ なんとも不便なものさしですが、 なので「3歩進んで2歩下がる」を繰り返せば、一応すべての自然数を測ることは可能です。しかし、これでは芸がないですね。せっかくならたくさんの素数を使いこなしたいところ。 そこで、すべての自然数を、2から順番に目盛りを1回だけ使って測ってみるのはいかがでしょう？例えば3なら \[ 3 = 2 + 3 + 5 - 7 \]なので、「2歩進んで、3歩進んで、5歩進んで、7
26 ～平方数と立方数の間～ - Corollaryは必然に。
一カ月くらい前ですが、26歳になりました。わーい。「26歳」といえば最近知ったこのツイートを思い出します。 https://twitter.com/MathEdr/status/708655704513490946 平方数と立方数にぴったり挟まれる数って26だけなのか！この26に秘めた性質も、エピソードも面白い！ ちなみに、大学院卒の人にとって26歳は社会人2年目の方が多いと思うんですよね。後輩が初めてできるんですよね。先輩と後輩に初めて挟まれるんですよね。どうでもいい？あっそう。 まあ、26歳になったんだし、この事実の証明くらい知っておいてもいいだろうと思い、勉強しました。そしたらまあ、証明も面白かったです。久しぶりの代数だったんで少し難しかったですけど。内容は大学レベルですが、かなり噛み砕いて説明してみたので、もしかしたら、高校生2年生くらいでもなんとな〜く分かるかも。 方程式の導出と
掛谷問題 ～線分を回せる面積最小の図形を求めて～ - Corollaryは必然に。
この記事は、日曜数学Advent Calender 2016の22日目の記事です。 21日目の記事はみずすまし（nosiika）さんの「正方形+正方形=正方形の話」です。 中学生のときに見つけたピタゴラス数(3,4,5)(5,12,13)(7,24,25)(9,40,41)…にあんな性質があったなんて…！ イントロダクション 今回、私が紹介するのは「掛谷（かけや）問題」についてです*1。 掛谷問題（1916）長さ1の線分を領域内で1回転させることのできる図形のうち、面積が最小の図形は何か？ この問題、知らない方はちょっと考えてみてください。 名前にあるとおり、日本の数学者、掛谷宗一（1886 - 1947）が1916年の11月にこの問題を考え（[2]より）、1917年に提出した問題です。そして、2016年12月にこの事実を知った私はこう思ったのです。 うおお！100周年だぁ！！ 書きたいな
【束群】"ベン図っぽい等式"をもつ数学的構造とは？ - Corollaryは必然に。
この記事は日曜数学 Advent Calendar 2020の14日目の記事です。13日目はsatoさんの【真理の森の数学セミナー】SS：原始ピタゴラス数のお話でした。フェルマーの最終定理と原始ピタゴラス数について対話形式で書かれていて楽しく読める記事でした。 突然ですが、自然数，に対して \begin{equation} mn = \gcd(m,n)\operatorname{lcm}(m,n)\label{1} \end{equation}が成り立ちます。 一方、実数，に対して \begin{equation} x+y=\min\{x, y\} + \max\{x, y\}\label{2} \end{equation}が成り立ちます。 また、集合の部分集合，に対して \begin{equation} \#(A+B) = \#( (A\cap B) + (A\cup B) ) \lab
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