逆数学｜森北出版株式会社
「定理の証明には、いったいどれくらいの公理が必要なのだろう？」――古くは紀元前から、数学にはたびたびこの疑問が投げかけられてきた。この疑問にある種の回答を与えるのが、逆数学とよばれる数学基礎論の一分野である。 逆数学では、“公理”から“定理”を導く通常の数学とは異なり、“定理”に必要な“公理”を探る。これによって、定理どうしを“深さ”で分類したりすることができる。たとえば、「最大値の定理は中間値の定理より“深い”」といった具合だ。 本書では、解析学の基礎を通して、逆数学の基本的な考え方を解説。要所要所で歴史的な話題にも触れながら、読者をナビゲートしていく。 本書を読み終えた後、読者は、これまで出会ってきた定理たちを少し違った角度から眺めている自分に気づくはずだ。 「数学者は、材料の公理を加工して、定理という製品をつくり出す機械みたいなものか、といえば決してそうではないだろう。むしろ、ある定
逆数学 - Mathpedia
逆数学 (reverse mathematics) は数学の定理の強さ、すなわちその定理を証明するためにどのくらいの仮定、すなわち公理が必要なのか分析する分野である。逆数学の「逆」は定理と公理の同値性を示すために、「定理から公理を証明する」訳であるが、これが通常の数学での「公理から定理を証明する」の逆であることにちなむ。 二階算術 通常の数学の定理の強さを分析するためにはZermelo–Fraenkelの集合論、$\mathsf{ZF},\mathsf{ZFC}$などは強すぎる。もちろん、「 $\mathsf{ZF}$ 上でZornの補題と選択公理が同値」や 「$\mathsf{ZF}$ 上でBoole素イデアル定理と完全性定理の同値」、「$\mathsf{ZF}$ 上で $\mathbf{\Sigma}^1_1$ の決定性と任意の集合に対してそのシャープが存在することは同値」などの逆数学
現象
数学の対象は存在ではなく現象である。 というフレーズを思いついた。 1 という対象はどこにも存在しない。 整数という対象は存在しない。 整数の論理的条件に合致する現象について考えることしかできない。 最近、ホモトピー型理論 HoTT (Homotopy Type Theory) という理論を聞きかじった。 そこに univalence axiom (テキトーに訳すと「統価公理」)という要請がある。 ざっくりした理解で言えば、同じ振る舞いをする型は同じ型ということにする、という原理である。 実装の違いに依らず整数は整数、というような説明をされる。 この理論を計算機科学の文脈で捉えるだけなら実装と言っておけば良いのだが、 集合論に代わる基礎論の文脈からはこれをどう考えるのだろう、とどこか引っかかっていた。 整数のように振る舞う対象は整数である。 そう考えると、全ての自由巡回群は整数である。 集
哲学的視点からの直観主義論理入門 [前編]
古典命題/述語論理の証明論・モデル論や、健全性・完全性定理に多少触れたことがないと理解できない可能性が高いです。 また、哲学に関する前提知識は必要ありません(おそらく)。 分かっている人向けの説明 「金子先生や大西先生の文献を追いながら、ダメットの反実在論に関する議論をざっくり整理してスッキリしたい」という気持ちに突き動かされて書いた個人的なメモを、他人に見せられるように整形・拡張したものです。今年言語哲学について学んだことのメモにもなっています。 直観主義論理とはまず、今回のテーマである直観主義論理についての説明をしておきたいと思います(すでにご存じの方は次章に移ってくださって構いません)。いわゆる普通の論理学の体系、古典論理(classical logic)についての知識は前提としているので、知らない方は色々調べて見てください。 さて、直観主義論理を非常に簡単に説明するなら、古典論理の
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不完全性定理
ver.2022.05.26：文章を色々と変更・修正。数学や歴史についての内容は変っていない。数式を MathJax で表示するように変更。インライン要素の前後に意図せぬ空白が入っていたのを修正。 1. 不完全性定理理解の第一歩に向けて…このテキストの内容の説明 このテキストでは、1931年にクルト・ゲーデルが発表した数学の定理である不完全性定理の理解への第一歩として、なるべく数式を使わない説明を行う。不完全性定理には第一不完全性定理と第二不完全性定理のふたつがあるが、最初、物理学の万物の理論とのアナロジーを使って、第一不完全性定理がどんな定理なのかを説明し（第2-8節）、その後で第二不完全性定理の説明、および、第一不完全性定理と第二不完全性定理が生まれた歴史的背景について説明する（第9-15節）。そして、最後にこの定理の人類の知の歴史における位置付けを行う（第16節）。 このテキストでは
Zero's World: Taxonomy - 類似性と「みにくいアヒルの子の定理」
類似性と「みにくいアヒルの子の定理」 小野山 敬一 １．はじめに 類似性 similarity は対象間の関係を見るひとつの方法であり，しばしば分類における基準となるもので，それによって事物のグルーピングが行なわれたりするものである．一方，「みにくいアヒルの子の定理」（the theorem of the ugly duckling）は，形質を同等に評価した場合には類似性にもとづく分類がありえないこと，したがって客観的な分類がありえないことを示すものと解釈されている． 「みにくいアヒルの子の定理」はWatanabeが1961年にAAAS annual meetingで言及し，1962年ブラッセルでの講演で厳密な証明を与えた．後者はWatanabe (1965) に収録されている．その後，渡辺自身は，Watanabe (1969) や渡辺（1978，1986）で取り上げているが，他の著者が言
中1の問題『(-1)×(-1)=1を示せ』を大学レベルの数学でオーバーキルするリプ欄が勉強になる
青猫 @AonekoSS @marsh0604 (−1)×(−1) = (−1)^2 = (cosπ+i sinπ)^2 ※複素数平面に展開して = cos2π+i sin2π ※ド・モアブルの定理で = 1 + i・0 ※ゼロの乗算は別途必要やも = 1 中学生向けじゃない…… 2020-07-05 10:47:34
数学の統一理論 - Wikipedia
この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2023年8月） 正確性に疑問が呈されています。（2023年10月） 出典検索?: "数学の統一理論" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL 数学の統一理論（すうがくのとういつりろん、英: unified theory of mathematics）に到達するためのいくつかの試みが歴史的に行われてきた。数学者は、すべての主題（科目）は一つの理論に収まるべきであるという明確な展望を抱いている。[要出典] 歴史的側面[編集] 統一化のプロセスには、統制のための規律として「数学を構成するところのものは何であるのか」を定義することが一つの助け
「厳密な共通言語」としての形式手法 #devsumi / Developers Summit 2020
Developers Summit 2020 で使用したスライドです。 言葉というものは曖昧です。複数人が「ともにつくる」システムにおいて、メンバ間で仕様を正しく共有することは非常に重要ですが、一方で言葉の裏側に隠された「暗黙の仮定」を見抜くことは簡単ではありません。このような仕様の曖昧性への対抗手段として、本セッションでは「形式手法」を紹介します。形式手法ではシステムの挙動を数学的に記述することにより、自然言語の持つ曖昧性を排除し、仕様が満たされるかどうかを厳密に検証することが可能になります。あなたの頭の中にある仕様がどのように「数学的な記述」に変換されるのか、具体例を通して体験してみませんか？ イベント概要：https://event.shoeisha.jp/devsumi/20200213/session/2380/
黒木玄 Gen Kuroki on Twitter: "#統計 「95%の信頼区間」の95%はどういう意味か？ 「真の値がその区間に含まれる確率」という解釈はよくある誤解。 この手の事柄では、教科書的な統計学の説明を忘れて、 * 数学的モデルを現実から得たデータで評価する とい… https://t.co/K8EHNW0Hza"
#統計 「95%の信頼区間」の95%はどういう意味か？ 「真の値がその区間に含まれる確率」という解釈はよくある誤解。 この手の事柄では、教科書的な統計学の説明を忘れて、 * 数学的モデルを現実から得たデータで評価する とい… https://t.co/K8EHNW0Hza
8/6因果フェスのプレビュー：「系列Aと系列Bの関係は？」という問いに対する4つの素敵な解法について - Take a Risk：林岳彦の研究メモ
こんにちは。林岳彦です。エ・レ・ファ・ン・ト・カ・シ・マ・シ（←滝川クリステル風に声に出して読みたい日本語）。 さて。 今回は8月6日に迫った日本生態学会関東地区会シンポジウム（a.k.a 因果フェス）についてのプレビューを書いてみたいと思います。 今回のシンポにおける問いを一言で言うと：「系列Aと系列Bはいかなる関係か？（＊但し共変量および背景に関する情報は無いものとする＊）」 統計的因果推論というと「介入効果／措置効果の推定」のことを思い浮かべる方も多いのかもしれませんが、そのテーマは昨年に扱いました。 で、今年については本質的には以下の問いが中心になると言えるのかなと思います： 「系列Aと系列Bはいかなる関係かについて答えよ（＊但し共変量および背景に関する情報は無いものとする＊）」 はい。 これはシンプルではありますが非常に奥の深い問いです。 今回のシンポでは、この問いに対する4つの
ベイズ推論：いつも何度でも尋ねられること
このページをご覧頂き、ありがとうございます。 「ベイズと最尤のどちらが正しいのか」と、いつも何度でも尋ねられます。 「事前分布は何が正しいのか」と、いつも何度でも尋ねられます。 ここでは、できるだけ短く、その質問についての返答を述べます。 １．正しい統計的推論は存在しない 統計学が扱う問題では、ほとんどの場合、基礎となる確率がわからないので、 特別な場合を除いて、正しいモデル・正しい事前分布・正しい推論というものは存在しません。 条件が不足したり過剰だったりして答えられない問題のことを【不良設定問題】と いいます。 統計学は不良設定問題を扱う学問です。 この世にあるほとんどの問題は程度の違いこそあれ、みな不良設定です。 まずは「統計学は不良設定問題を扱う学問である」ということを理解しましょう。 基礎となる確率が定められていなければ【正しい統計的推論】は存在しません。 （注） 基礎となる確率
中学生の数学定期テストが難解過ぎて議論紛糾「多項式を文字でおくことが出来るのはなぜ？」
鈴木貫太郎 @Kantaro196611 視聴者の塾の先生から「某中学校の定期テストの過去問を見て困った」どう答えればいいのでしょうかという質問。常に「どうしてそうなるかを考えることが大事」と言っているオイラも、流石にこの「なぜ？」には困った。模範解答を募集します。 pic.twitter.com/MK8OVIeUHF 2019-06-09 01:05:34
ベイズ確率論、ジェイコブス達の新しい風 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
バート・ジェイコブスとコラボレーター達は、現状のベイズ確率論で使われている概念・用語・記法とは異なる、完全に新しい概念・用語・記法を提案しています。悪しき風習やしがらみを断ち切って、理論をリフォーミュレートしたのです。 従来のやり方に慣れている方は、彼らのスタイルに強い違和感を持つかもしれません。しかし、白紙で考えれば、とても使いやすいものです。僕は、ジェイコブス・スタイルを若干アレンジして使っているのですが、ほんとに気持ちよくて、従来方式に戻る気にはなれません。 今日は、その内容の詳細までは解説しませんが、基本概念だけに絞って雰囲気を紹介します（それでもけっこうな長さになりました）。 内容： ベイズ確率論を整理して再構成する 状態変換子と述語変換子 確率的状態 確率的状態変換子とチャンネル チャンネルについてもう少し 状態とチャンネルの実例 ファジー述語 ベイズ論理／ベイズ計算に向けて
長尾真（情報工学者）新井紀子（数学者）｜INFORIUM｜NTTデータ
人間を理解し、人工知能をさらに先へ。 情報処理学で多大な功績を残した長尾真氏と 「ロボットは東大に入れるか」プロジェクトで人間の能力に注目するようになった 国立情報学研究所の新井紀子教授が、 AI技術の発展にはこれから何が必要になるのか、徹底討論しました。 人間の知能を支えるもの新井 私が「ロボットは東大に入れるか」というプロジェクト(※1)を始めたときに人工知能学、特に言語処理の方面から「何でこんな役に立たないことをするのか」という批判的なご意見を受けました。そんな中、長尾先生が「それは今やるのはなかなか面白かろう」と、言語処理学会の記念大会などに私を講師として呼んでくださったのが印象に残っています。 長尾 でも、それから4～5年のうちに東ロボをおやめになった。「もうちょっとやったら面白いところまで展開するのでは」と思っていたので、それが残念です。 新井 いえ、まだプロジェクトはやめてい
定式化の結晶 - 小人さんの妄想
・問題とは、何が問題なのかが分からないことが問題なのである。 ・明確な質問の形にできたとき、問題は８割以上解けている。 ・数学とは、解法の寄せ集めではなく、言語である。 -- 詠み人知らず。 学生の頃、先生からこんな話を聞いたことがあります。 『分析化学の仕事は、良いサンプルを準備するところまで。あとは分析機器が答を出す。』 それまで私は分析化学というものに、試薬の色が変わったとか、沈殿したとか、そんなイメージを思い描いていました。 ところがこのイメージは、現代の分析化学には当てはまりません。 分析の主役は、高度に発達した分析機器 〜 Ｘ線回折、ＮＭＲ、クロマトグラフィーといった一群の機械装置なのです。 もちろん試薬の色や沈殿が無くなったわけではないのですが、それらはすでに現在の主流ではありません。 数ある分析機器の中でも、私が特に驚いたのは「Ｘ線回折装置」でした。 これを使うと、タンパク
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無理数の無理数乗 = 有理数となる場合 (2020年 横浜市立大/1986年 阪大)
データマイニング・機械学習分野の概要
よみがえる非ユークリッド幾何｜日本評論社
琴葉姉妹の数学キソ論：Appendix.１～５