位相多様体 - Wikipedia
位相幾何学という数学の分野において、位相多様体（いそうたようたい、英: topological manifold）とは、以下に定義される意味で実 n 次元空間に局所的に似ている（分離空間でもある）位相空間である。位相多様体は数学全般に応用を持つ位相空間の重要なクラスをなす。 「多様体」は位相多様体を意味することもあるし、より多くは、追加の構造を持った位相多様体を指す。例えば可微分多様体は可微分構造を備えた位相多様体である。任意の多様体は、単に追加の構造を忘れることによって得られる、台となる位相多様体を持つ。多様体の概念の概観はその記事に与えられている。この記事は純粋に多様体の位相的側面に焦点を当てる。 定義[編集] 位相空間 X が局所ユークリッド的 (locally Euclidean) とは、非負整数 n が存在して、X の任意の点がユークリッド空間 En（あるいは同じことだが実 n
宇宙の形 - Wikipedia
宇宙の形（うちゅうのかたち、英: shape of Universe）は、宇宙の幾何学を記述する宇宙物理学のテーマの一つのくだけた呼び名である。宇宙の幾何学は局所幾何と大域幾何の両方からなる。宇宙の形は、おおざっぱには曲率と位相幾何学により分けられ、厳密にはその両方の範疇をはみ出ている。より形式には、このテーマは、どの3-多様体が、4次元の時空の共動座標（英語版）の空間区分に対応するのかを調べることにある。 時空の形、宇宙の曲率、時空の曲率とも呼ばれる。 導入[編集] 宇宙の形の考え方は、2つに分けられる。1つは、宇宙のどこでも、とりわけ観測可能な宇宙の曲率に関連した局所幾何（英: local geometry）であり、もう1つは、「観測可能とは限らない」宇宙全体の位相幾何学に関連した大域幾何（英: global geometry）である。 宇宙研究者は、通常、共動座標系と呼ばれる、時空の
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日本空間 (位相空間論) - Wikipedia
位相空間論において日本空間 (Japanese space) とは、閉包を保つような局所近傍系を持つ空間のことである。 定義[編集] 位相空間 の集合族 が閉包を保つとは、の任意の合併が閉包と交換することである。 つまり、任意の に対し、 となることである。 位相空間 がある点 において日本である (X is Japanese at x) とは、 の局所開近傍基であって、閉包を保つものが存在することである。が全ての点で日本であるとき、単には日本空間である (X is Japanese) という。 位相空間 がある点 において弱日本である (X is weakly Japanese at x) とは、 の局所閉近傍基であって、閉包を保つものが存在することである。が全ての点で弱日本であるとき、単には弱日本空間である (X is weakly Japanese) という。 性質[編集] 以下、位
インド・バングラデシュ国境の飛地群 - Wikipedia
クーチ・ビハール市（インド）付近の状況。地図は東を上にしており、右（南）がバングラデシュ（緑）、左（北）がインド（橙）。 「飛び地の中の飛び地の中の飛び地」ダハラ・カグラバリ インド・バングラデシュ国境の飛地群（インド・バングラデシュこっきょうのとびちぐん、英: India–Bangladesh enclaves）は、インド（西ベンガル州クーチ・ビハール県）とバングラデシュ（ラジシャヒ管区）との国境線をまたいで散在した双方の飛地。入り組んだ国境線に加え、非常に多くの飛地が互いの領土内に存在することで、錯綜した状況になっていた。2015年8月1日、領土交換で解消された。 この一帯の総称はないが、日本にはインド側の県名を採り、クーチ・ビハール（Cooch Behar, Koch Bihar）の名で紹介されている[1]。 概要[編集] インドの西ベンガル州クーチ・ビハール県とバングラデシュのラジ
ホモロジー代数学 - Wikipedia
ホモロジー代数学における基本的な結果である蛇の補題で用いられる図式。 ホモロジー代数学（ホモロジーだいすうがく、英: homological algebra）は、一般の代数的な設定のもとでホモロジーを研究する数学の分野である。それは比較的新しい分野であり、その起源は19世紀の終わりの、組み合わせ論的トポロジー（英語版）（代数トポロジーの前身）と抽象代数学（加群や syzygy（英語版） の理論）の、主にアンリ・ポアンカレとダフィット・ヒルベルトによる研究にまでさかのぼる。 ホモロジー代数学の発展は圏論の出現と密接に結びついている。概して、ホモロジー代数はホモロジー的関手とそれから必然的に生じる複雑な代数的構造の研究である。数学においてきわめて有用で遍在する概念の1つはチェイン複体 (chain complex) の概念であり、これはそのホモロジーとコホモロジーの両方を通じて研究できる。ホモ
位相的場の理論 - Wikipedia
原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 位相的場の理論（いそうてきばのりろん）もしくは位相場理論（いそうばりろん）あるいはTQFTは、位相不変量を計算する場の量子論である。[1] TQFTは物理学者により開拓されたにもかかわらず、数学的にも興味を持たれていて、結び目理論や代数トポロジーの 4次元多様体の理論や代数幾何学のモジュライ空間の理論という他のものにも関係している。サイモン・ドナルドソン, ヴォーン・ジョーンズ, エドワード・ウィッテン, や マキシム・コンツェビッチ は皆、フィールズ賞 をとり、位相的場の理論に関連した仕事を行っている。 物性物理学では、位相的場の理論は、分数量子ホール効果や、ストリングネット（英語版）凝縮状態や他の強相関量子液体（英
コンツェビッチ不変量 - Wikipedia
数学の結び目理論においてコンツェビッチ不変量(Kontsevich invariant)又はコンツェビッチ積分（Kontsevich integral）とは、反復積分によって定義される結び目または絡み目の不変量である。全ての有限型不変量、特に量子不変量はコンツェビッチ不変量から復元されるため、普遍量子不変量と呼ばれることもある。 1990年代初頭にマキシム・コンツェビッチが定義した。 この項では関連する概念としてヤコビ図についても述べる。 ヤコビ図とコード図[編集] 定義[編集] ヤコビ図の例 X を円（ 1次元多様体の例）とする。オーダー n のヤコビ図(Jacobi diagram) G とは、右の図の例のような 2n 個の頂点を持ち、部分グラフとして円(external circle)をひとつ持ち、それ以外の円の内部にもグラフ(inner graph)を持ち、次の条件を満たすグラフの
リー群 - Wikipedia
リー群（リーぐん、英語: Lie group）は、群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。 定義[編集] G を台集合とする実リー群とは、G には実数体上有限次元かつ可微分[注釈 1]な実多様体の構造が定められていて、G はまた群の構造を持ち、さらにその群の演算である乗法および逆元を取る操作が多様体としての G 上の写像として可微分であるもののことである[注釈 2]。このような構造が入っているという前提の下で、通常は「G はリー群である」というように台を表す記号を使ってリー群を表す。また、実数（実多様体）を複素数（複素多様体）にとりかえて複素リー群の概念が定まる。 圏論の言葉を使うとリー群の定義が簡潔になる：リー群とは可微分多様体の圏の群対象のことである。この圏論に基づく定義は重要で
基本群 - Wikipedia
原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 トーラス上の点 p を始点と終点にもつループ 数学、特に代数トポロジーにおいて、基本群（きほんぐん、英: fundamental group）とは、ある固定された点を始点と終点にもつふたつのループが互いに連続変形可能かを測る点付き位相空間に付帯する群である。直観的には、それは位相空間にある穴についての情報を記述している。基本群はホモトピー群の最初で最も単純な例である。基本群は位相不変量である。つまり同相な位相空間は同じ基本群を持っている。 基本群は被覆空間の理論を用いて研究することができる。なぜなら、基本群は元の空間に付帯する普遍被覆空間の被覆変換群に一致するからである。基本群のアーベル化は、その空間の第一ホモロジー群
ジョーンズ多項式 - Wikipedia
数学の結び目理論の分野において、ジョーンズ多項式 （Jones polynomial）は ヴォーン・ジョーンズが1983年に発見した多項式不変量である。明確に言うと、ジョーンズ多項式は向き付けられた結び目 または 絡み目の結び目不変量で、整数を係数とする の ローラン多項式 で与えられる。 ジョーンズの発見以来、後述のように数学・物理学のさまざまな話題との関係が発見され議論されている。 ブラケット多項式による定義[編集] タイプIのライデマイスター移動 正則表示 の形で与えられた、向き付けられた絡み目 L をとる。これに対してカウフマン(en:Louis Kauffman)の ブラケット多項式 ( で表す)を用いて ジョーンズ 多項式 V(L) を定義しよう。 ここでブラケット多項式は整数を係数とする不定元 A の ローラン 多項式であることに注意する。 まず、多項式(正規化ブラケット多項
一筆書き - Wikipedia
六芒星の一筆書きの例。 一筆書き（ひとふでがき）とは、広い意味では「筆記具を平面から一度も離さず線図形を描く」ことである。狭い意味では、これに加えて「同じ線を二度なぞらない（点で交差するのはかまわない）」という条件が加わる。 以下は後者の狭い意味での一筆書きについて記す。 三角形「△」や四角形「□」は一筆書き可能だが、十字「+」は一筆書きできない。また、五芒星や白星「☆」、六芒星「✡」は一筆書き可能だが、アスタリスク「＊」は一筆書きができない。このように、一筆書きできる図形とできない図形がある。 「与えられた図形が一筆書き可能かどうか」という問題の例として、「ケーニヒスベルクの橋の問題」（独: Königsberger Brückenproblem）が知られている。なお、ケーニヒスベルクとは実際にあった場所の名前である。 ケーニヒスベルクの七つの橋問題[編集] ブレーゲル川と七つの橋を示し
ライデマイスター移動 - Wikipedia
ライデマイスター移動（-いどう、Reidemeister move）とは、位相幾何学の一分野である結び目理論において、結び目や絡み目の射影図に対して施す基本的な変形。ライデマイスター変形とも。名前の由来は数学者のクルト・ライデマイスター。 定義[編集] 結び目・絡み目の（正則な）射影図において、以下のような局所変形をそれぞれライデマイスター移動I・II・IIIという。文章で表現すると I - 絡み目の成分をねじってループをつくる、または外す II - 片方の成分をもう片方の成分の下に潜らせる、またはその逆の操作 III - 交点の上（下）を横切るように別の成分を滑らせる となる。 ライデマイスター移動 性質[編集] Type I' ライデマイスター移動Iを行うと、射影図の交点数やひねり数が1増減する。IIではひねり数は変化せず、交点数が2増減する。IIIの場合は、交点数もひねり数も変化しな
トーラス結び目 - Wikipedia
(3,7)型トーラス結び目の立体的な図。 トーラス結び目（トーラスむすびめ、Torus knot）または輪環結び目（りんかんむすびめ）とは、位相幾何学の一分野である結び目理論において、トーラス面上にぴったりと貼り付けられるような結び目のこと。絡み目の場合はトーラス絡み目（トーラスからみめ、Torus link）という。 （p , q）型トーラス結び目[編集] 赤色の線がメリディアン、桃色の線がロンジチュード （3,8）型トーラス結び目の射影図。 p , q を互いに素または片方が0でもう片方が±1の整数としたとき、トーラス結び目の標準形として(p , q)型のトーラス結び目というものが定義できる。 3次元ユークリッド空間 R3 または3次元球面 S3 内の自明なトーラス（中心曲線が自明な結び目となっているトーラス）を考え、メリディアンとロンジチュードに向きを与えておく（中心曲線・メリディア
Morse theory - Wikipedia
"Morse function" redirects here. For anharmonic oscillators, see Morse potential. In mathematics, specifically in differential topology, Morse theory enables one to analyze the topology of a manifold by studying differentiable functions on that manifold. According to the basic insights of Marston Morse, a typical differentiable function on a manifold will reflect the topology quite directly. Morse
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