【社内勉強会】圏論的集合論 ～第一回 集合論について～
Photo by geralt on Pixabayこんにちは. スマートプラスで証券ビジネスプラットフォーム「BaaS（Brokerage as a Service）」を開発している, エンジニアの谷岡です. Finatextグループのエンジニアは, システム開発だけでなく何らかの付加価値を+αで持てるような取り組みを行うことが奨励されています. 取り組みの一つとして, その分野に詳しいエンジニア自身が講師を務める勉強会を週1くらいで開催しているのですが, 私が担当している圏論の回が好評だったので, その内容を数回に分けてご紹介していきたいと思います. なぜ圏論なのか圏論は元々は数学のイチ分野ですが, 物理学・AIといった研究分野のほか, ご存知のとおりプログラミングの世界においても関数型プログラミングのバックグラウンドとして利用されています. また, 過去の研究について圏論で書き直すこ
もし、世界のナベアツが30,000以降をかぞえたら｜かろてん
序章ナベアツ「29,993...29,994...」 今、ついに恐れていたことが起きようとしていた。 ナベアツ「29,995...29,996...」 ヤツが来る。来てしまう。 ナベアツ「29,997...29,998...」 ああ。嗚呼。 ナベアツ「29,999」 ああーー ナベアツ「ーー30,000」 ついに、来てしまった。 ーーこうして、地獄の「10,000連続でアホになる」が始まってしまったのだ。 第1章 3の倍数ナベアツ「30,098...30,099...30,100...」 かつての私はこういった。 「3の倍数と3が付く数字のときだけアホになります」と。 なんであの時、3の倍数だけにしておかなかったのか。 いや、なぜ5の倍数とかにしておかなかったのか。 いや、15の倍数。 いや、100だっていい。 100なら、ネタ持ち時間によっては1から100までを普通に数えて終わってし
x×y進法だとxじゅうy、x+y進法だとyじゅうxと書けるような数はあるか - アジマティクス
この記事は、数学デーアドベントカレンダー10日目の記事です。 東京で「数学デー」という数学好きが集まる場を運営しています。 twitter.com そこで主に行われているのは「誰かが持ってきた（数学とは限らない）話題に対して好き放題議論する」ということで、その結果として新しい何らかが生まれたりすることも少なくありません。 このブログのカテゴリ「数学デー」ではそんな議論の一端をご覧いただくことができます。よろしければどうぞ。 そして「新しい何かが生まれる」以外にも、誰かが持ってきた話題が「問題」だったりした場合には、「みんなで問題を解く」という営みが発生しがちです。 もちろん、誰か一人が全部解いてしまうことも多いのですが、やはり「みんなが協力したら解けた」というときの感慨はひとしおです。 今回はそんなお話。 記数法の底も変数であるような方程式 その日の数学デーも、いつものように議論を楽しんで
数学入門公開講座 バックナンバー（講義ノート）｜京都大学数理解析研究所
ヒッチン方程式とその周辺 教授・望月 拓郎 ヒッチン方程式はリーマン面上で定義される非線形な微分方程式です。もともとは物理学で重要なヤン - ミルズ方程式を簡単にしたものとして導入されたのですが、むしろ数学的に興味深い方程式であり、微分幾 何・代数幾何・トポロジーなど様々な分野を結びつける役割を果たし、その影響は代数解析や数論といった かなり離れた分野にまで及んでいます。この講座では、ヒッチン方程式に関連する数学的対象について説明 し、ヒッチン方程式に触発されて発展した研究の一端を紹介する予定です。また、ヒッチン方程式を例とし て、非線形微分方程式の解析の難しさと面白さなどについても触れたいと考えています。 二重指数関数型数値積分公式の理論と発展 助教・大浦 拓哉 二重指数関数型数値積分公式（DE 公式）は高橋秀俊・森正武により1974年に提案された定積分の値を数 値的に求める手法です。現
動的計画法を実現する代数〜トロピカル演算でグラフの最短経路を計算する〜 - Qiita
トロピカル半環と呼ばれる代数構造上のトロピカル行列を利用すると動的計画法を使ってグラフの最短経路の距離を計算するという問題が単純な行列積で解けてしまうらしい。そんな噂12を聞きつけて我々はその謎を解き明かすべく南国（トロピカル）の奥地へと向かった。 トロピカルな世界に行くためにはまずは代数を知る必要がある。要するに群・環・体の話だ。しかしこの記事の目的は代数学入門ではないので詳しい話は他の記事3に譲るとし、さっそく半環という概念を導入する。それは 半環は以下の性質を満たす二つの二項演算、即ち加法（和）"$+$" と乗法（積）"$\cdot$" とを備えた集合$R$を言う $(R, +)$ は単位元 $0$ を持つ可換モノイドを成す: $(a + b) + c = a + (b + c)$ $0 + a = a + 0 = a$ $a + b = b + a$ $(R, \cdot)$ は単
Hausdorff distance
1. Introduction 2. What is Hausdorff distance ? 3. Computing Hausdorff distance 3.1 Assumptions 3.2 Lemmas 3.3 Algorithm 3.4 Complexity 3.5 Interactive applet 4. Application examples Glossary References 1. Introduction When talking about distances, we usually mean the shortest : for instance, if a point X is said to be at distance D of a polygon P, we generally assume that D is the distan
Introduction to Mathematical Logic
数理論理学入門 高崎金久（京都大学） 〜京都大学での全学共通科目講義に基づく〜 目次 読み物 参考書 講義資料 読み物 E.T. ベル「数学をつくった人々（下）」（田中勇・銀林浩訳，東京図書） 著名な数学者の生涯と仕事を紹介するベルのこの有名な本は 19世紀のイギリス・アイルランドの数学者（ハミルトン，ケイリー， シルベスター，ブール）にかなりのページを費やしている． ジョージ・ブールについても生い立ちから数学以外の教養も含めて 詳しく紹介している． 竹内外史「現代集合論入門」（日本評論社，1971） これはもともと公理的集合論の本格的な解説を目的とした本であり， その意味でも重要だが，序章の「Logician小伝」はゲーデル以降の 有名な数理論理学者の履歴や業績を紹介していて，評伝としても読める． 筆者はほとんどの人たちと直接・間接に交流があったので， かなり生々しい話も出てくる． ダグ
【数学】三人寄れば文殊の知恵が得られることの証明 - アジマティクス
よく知られた定理として、以下のものがあります。 定理：３人寄れば文殊の知恵 古くから知られている定理ですが、日常的によく使う定理である割にはその証明をきちんと追ったことがある方は少ないのではないかと思います。以下ではこちらの定理の証明を解説します。 前提 まずは要請される前提を確認しておきます。 ・３人の人間がいます。名前はまあ何でもいいですがバルタザール、メルキオール、カスパーだと長いのでA,B,Cとでもしておきましょう。 ・彼らは目の前の問題に対して何らかの意思決定をします。「問題」とは例えば「明日は遊園地に行くことにしようか？」とか、「あの子に告白した方がいいだろうか？」とか、「被告人を有罪にすべきだろうか？」などのことです。 ・３人はそれぞれ、ちゃんと自分で考えて意思決定をします。これはつまり「他の人の判断に影響を受けることなく」ということです。「Aがそう言うんなら俺は意見変えよう
ベルンシュタインの定理（図つき） - IIJIMASの日記
以前のエントリベルンシュタインの定理がわからないといわれたので、わかってもらうべく図をつけて説明しようとエントリ集合と基数の説明を作成した。そこでは、集合論の「写像」「単射」「全射」「全単射」「基数」などの用語の定義した。 それを踏まえて本エントリではベルンシュタインの定理の証明を説明する。 AからBへの単射 f と、BからAへの単射 g が存在するとき、AとBには1対１対応h が存在する。すなわち、AとBの基数（濃度）が等しい。 AからBへの単射 f と、BからAへの単射 g が存在するとする。 AはBのgによる像g(B)とそれ以外の部分集合A - g(B)に分割できる。 Aの部分集合A - g(B)に注目する。fでBの部分集合f(A - g(B))に写される。 Bの部分集合f(A - g(B))をgで写すと像はAの部分集合gf(A - g(B))となるが、gf(A - g(B))とA
何もないところから数を作る
14. 1X n=0 ( 1)n = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ... = (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + ... = 0 = 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1)... = 1 0 = 1
代数学の基本定理 - 34歳からの数学博士
どうも、taketo1024です。いよいよ年の瀬ですね。皆さんはもう大掃除は終わりましたか？僕は昨日張り切りすぎたせいで全身筋肉痛です。 窓拭きはムラなく一様にキレイにするのが難しく、拭いた跡が残っているのが気になって拘りだすと果てのない作業になってしまうものですが、そんなときにふと「複素数のように窓を拭けたらなぁ」と思い、今日はこの記事を書くことにしました。 まずは「代数学の基本定理」についてお話ししましょう。 「代数学の基本定理」とは？ Wikipedia を見るとこんな風に書いてあります： 代数学の基本定理（英: fundamental theorem of algebra）は 「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」という方程式論の定理である。 なんだか難しいですね。具体例を考えてみましょう。 こういう2次方程式を考えます。中学で「2次方程式の判別式」を
一様連続と一様収束 - 34歳からの数学博士
どうも、佐野です。GWはいかがお過ごしでしたか？僕はずっと図書館に籠って数学の勉強をしており、大変充実した時間を過ごすことができました。 今日は「一様連続と一様収束」について書いてみようと思います。大学で最初に学ぶ解析学の「三大訳わからん」を挙げるとすれば、 論法 （ 前に書いた記事 ） 実数の完備性 一様性の概念 だと思います。微分積分は直観的に理解しやすいし、証明はすっ飛ばしても結果が使えれば分かった気にもなれます。でも上の三つは19世紀以降にできた「数学に対する新しい見方」そのものであって、ちゃんとインストールできてないとそれらに関する話は一つも理解できず、まるで全く言葉の通じない国へほっぽり出されたような気分になってしまいます。 僕自身学生時代にこれらが分かっていたかというと怪しいものがあり、十分に噛み砕かないまま色々な数式を詰め込んで後々苦労した記憶があります。今改めて勉強し直し
Russell のパラドクスと λx.xx (または自己言及がもたらす豊かさと危うさについて) - ryota-ka's blog
この記事は以下のページに移転しました． blog.ryota-ka.me お盆に数日の休みがあったので，Ludwig Wittgenstein の『論理哲学論考 (Tractatus Logico-Philosophicus)』を読み始めた．Wittgenstein の著作を読んでいると，彼が理論を継承し，また批判する対象となった Gottlob Frege や Bertrand Russell の思想にも同時に触れることになる． 『論考』の命題 3.3 以下に，Russell のパラドクスに対する解決策を提示し，Russell の主張を反駁する場面が見られるが，この記事ではむしろ，Russell 自身の回答である階型理論 (theory of types) による解決策に目を向けたい．我々が普段プログラムを記述する際に触れる型の概念が如何にして生まれ，発展してきたのかを見ていくこととしよ
よくわかる測度論とルベーグ積分。 - べっく日記
今日はとても寒く、秋らしい天気だ。一般に秋になると、「〇〇の秋」という言葉を聞くけれども、〇〇に好きな言葉を入れれば秋らしくなるので不思議である。 さて、趣味のTwitterを眺めていると、測度論がわからないというツイートを見た。私は一応測度論のTAをやっているので、今回は測度論をざっくりわかりやすくまとめることにした。測度論は解析系や統計系では必須の道具である。私は解析系の人間なので、今回はルベーグ積分の基本であるFubiniの定理や単調収束定理、ルベーグの収束定理、積分記号下での微分をゴールに解説をすることにした。 以下、この記事のメニューである。 ０．測度論の心 １．測度の定義 １-１．完全加法族 １-２．測度 １-３．測度空間 １-４．測度の性質 ２．ルベーグ積分の定義 ２-１．特性関数 ２-２．階段関数 ２-３．ルベーグ積分の定義 ２-４．リーマン積分とルベーグ積分との関係 ２-
新入生に勧める数学書2018 - 記号の世界ゟ
ツイッターで大学新入生にオススメの数学書を、ハッシュタグ #新入生に勧める数学書2018 で募集しました。 タグを作りました。皆さん、自由に語りましょう。 いろんな立場の人が選ぶことで、楽しいリストができると思います。#新入生に勧める数学書2018#新入生に勧める物理学書2018 分野、理由も併記するといいでしょう。分野は数学史や伝記などもok、幅広くいきましょう。— Loveブルバキ(ラブル) (@lovebourbaki) 2018年3月7日 皆さんのオススメの本を抜粋して紹介します。 はじめに 一般 微積分 線形代数 代数学(整数) 幾何 集合と位相 みなさんのアドバイス その他 参加してくださった皆様、ありがとうございました。 （ツイートの掲載は許可をとっています。了承していただいた皆さん、ありがとうございました。） はじめに こんな企画を始めたものの、知らない人が勧める本にすぐに
自由研究：有理数に収束する級数を探せ！（超幾何級数の面白い応用） - tsujimotterのノートブック
突然ですが「無理数」って面白いですね！この分野には未解決問題もたくさんあり、魅力的なトピックがたくさん詰まっています。 今日はその無理数をきっかけに tsujimotter が考えることになった、ちょっと変わった興味深い問題についてご紹介します。 きっかけは、tsujimotter が先日発表した「無理数とお友達になろう」というプレゼンでした。 無理数とお友達になろう - 第384回科学勉強会 from Junpei Tsuji www.slideshare.net 70スライドに渡って色々なことを語りまくったのですが、発表の中で特に伝えたかったメッセージは『「無理数であるか有理数であるかどうか」を知ることは、数を理解する上で本質的である』という点です。 無理数は、潜在的にある種の無限性をもっています。たとえば、ネイピア数 は典型的な無理数ですが、以下のように無限級数で表現できます。 この
【数学きりたん】きりたんと学ぶABC予想ってなんですか？？
初投稿です。東北きりたんが数学の「未解決っぽい問題」であるABC予想について解説してくれます。【追記】ちゃんと 2^3 と書いてある、いいね？（種兄はケジメを受けた）ちゃんと 281＜rad(56*225*281) と書いてある、いいね？（種兄は朦朧とした）正しくは「うちゅうさい」と読むそうです。そっかぁ…（種兄は塩を投げられた）できた！次の動画ができたよ！！でかした！！ 次:sm32576805
IIJ Research Laboratory
ネットワークの計測と解析 インターネットの使われ方やネットワークの挙動を把握する事は、ネットワークを運用し、その技術開発を行う ために欠かせません。しかし、観測で得られるデータ量は膨大ですがノイズが多く、また、観測できるのは極めて限られた部分でしかありません。そこで、膨大なデータから意味のある情報を抽出したり、部分的な観測からより一般的な傾向を推測する事が必要となります。... インターネット基盤技術 速くて、安全で、信頼性が高く、使いやすく、など、インターネットサービスへの要求はますます高まっています。これらの要求に応えるために、インターネットの 基盤技術も日々進歩しています。いまやインターネットはつながるだけのサービスではなく、高度で複雑な機能を備えた社会基盤となりました。IIJ技術研究所は、インターネットの基盤として実現が期待される機能を提供するために、さまざまな技術課題に取り組んで
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べき(累乗)と指数法則～指数を実数全体に拡張して