物理の本ではよく, 「反変ベクトルとは～～という変換則をもち, 共変ベクトルは・・・という変換則をもつものとして定義される」と説明がなされますが, 初学者にとってはなぜ唐突にこのような定義がされるのか非常にわかりにくいと思います. そこでこのページでは数学的によりシンプルな定義を採用し, 一点の曇りなく自然に反変ベクトルと共変ベクトルが導入されることを説明します. さらに2つの拡張としてテンソルが自然に導入されることもみていきます. 以下では$${\left(e_i\right)_{1\leq i\leq n}}$$を$${n}$$次元実ベクトル空間$${V}$$の基底とします. 複素ベクトル空間の場合も以下の$${\mathbb{R}}$$を$${\mathbb{C}}$$に変えるだけで全て上手く成り立ちます. このページと同じ内容のPDFも用意していますので適宜ご利用ください. 前提知

旧知の仲である数学者 齋藤 耕太 氏（筑波大学、学振PD）が、昨日数学の未解決問題を解決したとするプレプリントをプリプリントサーバーarXivに投稿されました： arxiv.org 論文自体は「現状分かるところまで研究しつくす」という素晴らしい態度で執筆されているので主定理の記述は十行ありますが、その特別な場合をとり出した ミルズの定数は無理数である という定理（これは論文のタイトルにもなっています）が、ある程度長い期間未解決であったと思われる数学上の問題の解決を意味しています。 無理数性の証明はかっこいい 実数という数学的対象は有理数と無理数に分けられます。有理数は などのように という表示を持つ実数であり（ここでは自然数は正の整数を意味するものとします）、有理数ではない実数のことを無理数といいます。 高校数学でも証明込みで学ぶことと思いますが、無理数の典型例としては があげられます。こ

","naka5":"<!-- BFF501 PC記事下（中⑤企画）パーツ＝1541 -->","naka6":"<!-- BFF486 PC記事下（中⑥デジ編）パーツ＝8826 --><!-- /news/esi/ichikiji/c6/default.htm -->","naka6Sp":"<!-- BFF3053 SP記事下（中⑥デジ編）パーツ＝8826 -->","adcreative72":"<!-- BFF920 広告枠）ADCREATIVE-72 こんな特集も -->\n<!-- Ad BGN -->\n<!-- dfptag ＰＣ誘導枠５行 ★ここから -->\n<div class=\"p_infeed_list_wrapper\" id=\"p_infeed_list1\">\n <div class=\"p_infeed_list\">\n <div class=\"

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平方剰余と三角関数 とを相異なる奇素数とする。このとき、をLegendre記号として、 が成り立つ。この式から相互法則 が得られる。 4乗剰余とレムニスケート関数 は前節では円周率、この節ではprimaryなガウス素数とする。ここで、primaryとは を満たすことを意味し、ノルム が奇数であるガウス素数に対しては、primaryな同伴数が一意的に存在する。 は と異なるもう1つのprimaryなガウス素数とする。 を4乗剰余記号とする。すなわち、 を満たす。 をレムニスケート周率とし、を lemniscate sine とする。 を の完全代表系から の元を抜いて（1つ）、そのサイズを にし、どの2つの元も互いに同伴でないようにした集合とする（1つとって固定。元の数は ）。も同様にとる。 このとき、計算ミスなどの可能性がまだ残っているけれども、 が成り立つと思われる。この式から相互法則

$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]

$Z \sim \chi ^2 (n)$を証明するために 統計学では$\chi ^2$分布という確率分布を学びます。この分布は、次のような文脈であらわれます。 確率変数$Z _{1}, Z _{2}, \cdots, Z _{n}$が互いに独立に標準正規分布$N(0,1)$にしたがうとき、$W=\sum _{i=1} ^{n} Z _{i} ^{2}$の従う分布を自由度$n$の$\chi ^{2}$分布と呼び、$\chi ^{2} (n)$と表す。 ここで、$\chi ^{2} (n)$の確率密度関数は次のような式になります。 $$ f _{n}(x) = \frac{1}{2 ^{\frac{n}{2}} \Gamma (\frac{n}{2})}x ^{\frac{n}{2}-1} e ^{-\frac{x}{2}} $$ 大体の統計学の教科書には、なぜ$W$が$\chi ^{2} (

株式会社ブレインパッドの2023年新卒研修資料です。基礎統計学について扱っています。

京都大学数理解析研究所の望月新一教授は2012年8月、4本の論文をインターネット上に公開した。未解決の数学的難問「abc予想」を解決できるとする「IUT理論（宇宙際タイヒミューラー理論）」である。 しかし、きわめて難解にしてあまりにも長大なこの論文をめぐって、世界の数学界には予想外の大きな「混沌」が生じた。現在では議論も膠着状態となっている。 そんな中、6月6日に設立（設置構想中）が発表されたZEN大学の研究機関、「宇宙際幾何学センター（Inter-Universal Geometry Center; IUGC（仮称）、所長 加藤文元氏）」は、この理論とその関連分野における新しい重要な発展を含む最優秀論文に、「IUT Innovator Prize」として毎年賞金2万ドル〜10万ドルを贈呈することを発表した。 またドワンゴ創業者 川上量生氏は、IUT理論の本質的な欠陥を示した論文を執筆した

Dave Richeson @divbyzero Mathematician. John J. & Ann Curley Chair in Liberal Arts at Dickinson College. Author of Tales of Impossibility and Euler's Gem. Coffee drinker. Dave Richeson @divbyzero Nice puzzle posted by @icecolbeveridge on Mastodon (that he said came from Reddit): Toggle one pixel to make this correct. No spoilers for those who don't see it! pic.twitter.com/kcrYL42ZsK 2023-06-18 01:

味噌バター淳平 @NBAmandesu @56_keishi こんなことなら京大受ければよかったです。 自分のこと過小評価してました。 答えは x,yともに6ですね。 2023-05-30 22:40:05

こういうツイートが話題になっていた。 「配列のすべての要素が条件を満たすならtrueを返す」関数を定義するとき、空の配列を渡したらfalseを返すかtrueを返すかが、良いプログラマかどうかの一つの境目だ— ふみ (DJ Monad) (@fumieval) 2023年5月29日 つまりScalaで言うと次のようなコードが何になるか、というものである。 val xs = Seq.empty[Int] xs.forall(_ == 42) 結論から言うと、このような関数は常にtrueを返す。 なぜだろう？その理由をこれから説明する。 ちなみに他に以下のような意見があった: 仕様による 例外を投げるべき いずれもまぁありえなくはないが、やめておいたほうが良いと思う。もし仮にfalseを返すような仕様があった場合、それは数学から乖離しているのでいずれ仕様内部で矛盾する可能性が高いし*1、最終的に

実は身近な「微分」と「積分」 自動車には、速度メーターが搭載されていて、走行中の速度がリアルタイムに表示されますよね。たとえば、「時速60km」といった場合、「1時間に60kmの速度で走行している」という意味ですが、なぜ、1時間走行したわけでもないのに、速度がわかるのでしょうか？ 考えてみると不思議ですよね。 実はこれは、高校の数学で習う「微積分法」のうちの「微分法」を使っているのです。 まずは、そもそも微分法とは何かという説明から始めることにしましょう。 16世紀のヨーロッパにタイムスリップします。当時ヨーロッパでは、各国同士が戦争を繰り返していました。その中で、大砲を相手に命中させるため、砲弾は一体どのように飛んでいくのか、その軌跡の研究が盛んに行われていました。この問いに答えを出したのが、ガリレオ・ガリレイ（1564～1642）でした。 飛ばした砲弾は、重力によって地面に向かって落ち

今回エントリーするのは、山本芳彦『数論入門』岩波書店だ。この本は以前にも、このエントリーで紹介しているが、今回は違う観点から推薦したいと思う。 数論入門 (現代数学への入門) 作者:山本 芳彦 岩波書店 Amazon ゆえあって、最近またこの本を読み始めたのだが、面白くて遂にほぼ全部読んでもうた。そして全体を読破すると、この本がもくろんでいること、この本の特質がひしひしつと伝わってきた。ひとくちに言えば、この本は、「ドラマの優れた総集編を観るようなすばらしい内容」ということなのだ。 ドラマの総集編って、全12話を4話ぐらいでかいつまむ。もちろん、圧縮しているので、カットされたエピソードもあるし、ナレーションで進めちゃう場面もあるし、スルーされるキャラもある。でも、優れた総集編では、本編より本質が浮き彫りになり、面白さが倍増になることも多い。この本は、数論の総集編として、そのメリットがみごと

※本記事はアフィリエイトプログラムによる収益を得ています 17着だけ服があれば一年中違う服装が可能――。そんな「大発見」がツイートされ、大きな反響がありました。 数学による新たな発見がここに！？ 投稿したのはmath channel（マスチャンネル）代表の横山 明日希（@asunokibou）さん。帽子３つ、ジャケット４着、Tシャツ３着、パンツ４本、靴が４足あれば、服装の組み合わせは3×4×3×4×3=432通りとなり、1年の日数「365」を超えるため、「17着だけ服があれば一年中違う服装が可能」だと提唱しました。 横山さんのアイデアには「天才！」「凄い発見」「これは良いことを知った！」「実用数学としてすごく面白い話題ですね!!」などの驚きと賛辞が送られていました。一方で、「春夏秋冬オールシーズン着れるの前提」「帽子とジャケットはあってもなくても良いならもっと服減らせるカモ」「洗濯のサイク

毎日針を5本投げて円周率を計算するbot @buffon_needle 毎日5本ずつ針を投げ、ビュフォンの針の理論に従って円周率πを計算します。 平行線が引かれた地面にその間隔と同じ長さの針をN回投げ、平行線とM回交わる時 π≒2N/M が知られています。 試行を増やすとより良い近似値となるので1年後にはきっと素晴らしい値が得られているはずです。 #本日のビュフォン 2021-01-07 20:14:48

その誕生を地元新聞も経済新聞も記事にしなかった。２年後、『コードの情報を白黒の点の組み合わせに置き換える』と最下段のベタ記事で初めて紹介された時、その形を思い浮かべることができる読者はいなかった。いま、説明の必要すらない。ＱＲコードはなぜ開発され、どう動くのだろうか。 ＱＲコードは、自動車生産ラインの切実な要請と非自動車部門の技術者の「世界標準の発明をしたい」という野心の微妙な混交の下、1990年代前半の日本電装（現デンソー）で開発された。 トヨタグループの生産現場では、部品名と数量の記された物理的なカンバンが発注書、納品書として行き来することで在庫を管理する。そのデータ入力を自動化するバーコード（ＮＤコード）を開発したのがデンソーだ。 バブル全盛の1990年ごろ、空前の生産台数、多様な車種・オプションに応えるため、部品も納入業者も急激に増え、ＮＤコードが限界を迎えていた。63桁の数字しか