アックス−グロタンディークの定理 - INTEGERS
体と正整数に対して、写像が多項式写像であるとは、が存在して が成り立つときにいいます。この記事ではTaoの記事とそのコメント欄を参考に次の定理のSerreの議論に基づいた証明を解説します。 定理(Ax, Grothendieck) 多項式写像が単射であれば全射である。 Hilbertの零点定理を使って、無限体の話を有限体の話へ移します。この記事では可換環論の幾つかの命題を既知と仮定します。 可換環論からの準備 Hilbertの零点定理 を体とし、のイデアルに対して、を と定義し、集合に対してイデアルを と定義する。また、イデアルの根基は で定義されるイデアルである。 Hilbertの零点定理 を代数閉体とする。このとき、イデアルに対して、が成り立つ。 Jacobson環 可換環がJacobson環であるとは、の任意の素イデアルが極大イデアルの共通部分として表されるときにいう。体やはJaco
リーマンゼータ関数の級数表示による解析接続 - INTEGERS
リーマンゼータの解析接続には様々な証明が知られています。このブログでも、Riemann自身による二つの証明のうち、テータ関数を使う方を紹介しました： integers.hatenablog.com Riemannのもう一つの証明はコンタワー積分を使うもので、どちらも関数等式も同時に示せる優れものです。 Euler-Maclaurinの和公式を用いるものやRiemann-Siegelの方法を含め、Titchmarsh の"The Theory of the Riemann Zeta-Function"には七通りもの証明が掲載されています。 これらは全て、積分表示を用いる証明です。しかしながら、tsujimotterさんの代表的な記事である tsujimotter.hatenablog.com で用いられているリーマンゼータの解析接続を与える式 はTitchmarshに載っているどの手法とも異
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