-数学- モジュラー形式とラマヌジャンの不思議な等式 - Maxima で綴る数学の旅
メディテレーニアンハーバー アイゼンシュタイン級数の保型性を使うと、ラマヌジャンの不思議な等式(%o1)を示すことができます。 (%i1) sum(n^5/(exp(2*%pi*n)-1),n,1,inf)=1/504; $$ \tag{%o1} \sum_{n=1}^{\infty }{\frac{n^5}{e^{2\,\pi\,n}-1}}=\frac{1}{504} $$ この式、どうやったら証明できるのか、本当に不思議ですよね。というかその前にこの式が成り立つと思えないと、始まりません。 とりあえず、左辺と右辺を数値計算してみます。まず左辺は、 (%i2) sum(n^5/(exp(2*%pi*n)-1),n,1,8),numer; $$ \tag{%o2} 0.001984126984126984 $$ 右辺は分数を小数に直すだけです。 (%i3) 1/504,numer; $$
-数学- 4で割ると１余る素数を２つの平方数の和に分解する方法 -二項係数- - Maxima で綴る数学の旅
探検! 数の密林・数論の迷宮 作者: 橋本喜一朗 出版社/メーカー: 日本評論社 発売日: 2017/09/27 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る をお持ちの方はp281に記載されている定理13.10をご覧になってください。 定理13.10 \(p \equiv 1 \left(mod \,4\right)\)となる素数を\(p=4\,n+1\)と表す。このとき整数\(a,b \left(-\frac{p}{2}<a, \,b<\frac{p}{2}\right)\)を \(a\equiv\frac{{{2\,n}\choose{n}}}{2}, \,b\equiv a\,\left(2\,n\right)! \left(mod\,p\right)\) を満たすようにとるとき\(p=a^2+b^2\)が成立する。 この定理、短いし、二項係数と階乗しか出てこないし、、、もっと広
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