（独自研究）素数生成多項式と虚2次体の類数 - tsujimotterのノートブック
今回の記事は、素数がたくさん登場する多項式 に関連する話題です。今回は私がこの式について考えているうちに、思いついて実施してみた独自研究について紹介したいと思います。どこかの本に書いてある話ではないので、誤りを含んでいる可能性も大いにあるかと思います。また、十分な調査ができているわけではないので、独自性もはっきりとしていません。その点をご了承の上で読んでください。 今回の記事は発展的な内容になっています。オイラーの素数生成多項式について、より基本的な事項を知りたい方は、まずはこちらの記事を読むのをお勧めします： tsujimotter.hatenablog.com 今回は論文を意識したフォーマットで書いているため、普段のブログ記事より内容が難しく、堅めの書き振りになっている点をご了承ください。また、虚2次体に関する基本的な知識を前提とします。 追記：2020.01.21 やはりといいますか
13, 613, 20200613は合同数 - tsujimotterのノートブック
こんにちは！ 今日の日付は 2020/06/13 ですが、20200613 は素数 ですね！ さらにいうと、20200613は「4で割って1あまる素数」でもあるわけですね。いやーじつにめでたい！ 上記の事実は、大人のための数学教室を経営している「和から株式会社さん」のTwitterアカウントで知りました。 今日は6月13日。 弊社講師の岡本は久しぶりの素数日だ！と雨にも関わらずテンション上がっています。 岡本「20200613は4で割って1余る素数ですよ！三平方の定理の組になりますよ！タイムリー！」 pic.twitter.com/2Xs1tAu8O9— 和から@大人のための数学・統計教室 (@wakara_nagomi) 2020年6月13日 せっかくなので、今日の日付に関して、自分でも何か発見をしたいなと思って考えてみると…… 13 613 20200613 のいずれも、合同数 である
33 = X^3 + Y^3 + Z^3 の整数解 - tsujimotterのノートブック
今回のテーマは 33 という整数についてです。今朝、アフィンスキームについての重い記事を投稿したばかりですが、この記事では軽い感じでいきましょう。 を固定した自然数として、 なる方程式の整数解を考えたいと思います。 今回の内容を紹介する動画ができました！ よろしければこちらもご覧になってください！ www.youtube.com たとえば、 の場合は という自明な解があります。ほかにも という解もあります。これはまさにラマヌジャンの見つけたタクシー数 のケースですね。 の場合は となります。整数解なので、マイナスでもいいわけですね。 のときは と表せます。 このように、さまざまな が３つの三乗数の和や差によって表せます。 上記のケースでは解が比較的簡単に求まりましたが、 がもっと大きな値になることもあります。 の組み合わせが見つかっていないような も存在します。 今回の主題は、 のケース、
パスカルの三角形にたくさん出てくる数: 3003 - tsujimotterのノートブック
この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2018 の 1日目の記事です。 今日から12月、今年も アドベントカレンダー の季節がやってきましたね！ 毎年12月になると、さまざまなテーマで持ち回りでブログ記事を書き合うお祭りがはじまります。それがアドベントカレンダーです。 ４年連続でアドベントカレンダーを企画しているtsujimotterですが、2018年も「日曜数学」というテーマでアドベントカレンダーを立てることにしました。 adventar.org おかげさまで、既にたくさんの方に書いていただけることが決まっています。ご賛同いただけた皆様、本当にありがとうございます。毎日記事が読めるのを楽しみにしています。 また、今のところ３日分ほど空きがありますので、よろしければ参加していただけると嬉しいです。 さて、１日目のテーマは パスカルの三角形 です。パスカルの三角形にまつわる面
「月を入力すると日を返す多項式」と中国剰余定理 - tsujimotterのノートブック
「月を入力すると日を返す多項式」の話が、Twitterのタイムライン上で話題になりました。 togetter.com どんな話題かというと、多項式 を以下のように定義したとき この に を代入すると、 となり、月を入力すると日を返す多項式になっています！すごい！ こんな多項式をいったいどうやって求めるんだろうかと、気になったかたはいるんじゃないかと思います。 これについては 中国剰余定理 が使えるということを、Iwao KIMURA ( @iwaokimura ) さんが、以下のツイートで教えてくださいました。 月を入力すると日を返す多項式．中国の剰余定理のいい例ですね．sagemathだとコマンド一発． pic.twitter.com/F15nosE2ia— Iwao KIMURA (@iwaokimura) 2018年10月21日 中国剰余定理は私の好きな定理の一つですが、このような応
名古屋で見つけた「双曲幾何学」 - tsujimotterのノートブック
名古屋に行った際に，たまたま立ち寄った通りで「双曲幾何学」的な図形をいくつか見かけましたので，テンション上がって写真をパシャパシャしてしまいました！せっかくなので，ブログでもご紹介します。 双曲幾何学って？（おさらい） 双曲幾何学について，ちょっと雑な説明にはなりますが簡単におさらいしましょう。 双曲幾何学とは，ユークリッド幾何学の「第５公準（別名，平行線公準）」 1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。 を否定することで実現する「非ユークリッド幾何学」の１つで，「双曲平面」という「ユークリッド平面（平坦な面）」とは異なる曲がった面を扱う幾何学のことです。特に双曲平面は，非ユークリッドな平面の中でも「負の定曲率を持つ」という性質で特徴付けられます。 上で説明した性質は少しわかり
美しい反例 - tsujimotterのノートブック
若い数学者が、壇上へと静かに足を運んでいく。 「だれだあいつは」という声が、どこからともなく聞こえた気がした。 彼は壇上へ上がると、一呼吸置いて自分のノートを開いた。 まだ一言も発していない。 彼は自分の名前さえ名乗らないままに、ゆっくりと、しかし力強く、黒板に数式を１つ書きはじめた。 会場が一瞬どよめいたが、すぐにおさまった。観衆は彼の意図を理解したようだった。そして、静かに拍手が沸き起こった。 彼の口元から、笑みがこぼれたように見えた。 上の文章は私の創作です。とある数学者が、ある問題を解決したシーンを文章にしたものです。 演出は、だいぶ盛っているかもしれません。笑 当時の様子を見た人は、もう生き残っていませんから、事実を確かめようがないのが残念です。 主役の数学者の名は「レオンハルト・オイラー」。オイラーは、上に挙げた「たった一つの数式」を示すことによって、これまで謎だった問いに明解
オイラーの素数生成多項式の秘密 - tsujimotterのノートブック
今日はオイラーが発見した， という多項式についてお話したいと思います。 ある特別な に対して，多項式の に整数 を入れていくと，「素数」が次から次へとたくさん出てくるのです。まるで 「魔法の多項式」 です。 これだけでも十分面白いのですが，なんとこれが 「類数」 という「一見まったく関係のなさそうな概念」と結びつくのです。私がこの事実を知ったのは，およそ２年ほど前です。それ以来，その秘密が知りたくてたまらなくなりました。 ２年経って，いろいろな勉強をして，ようやく理解のための土台が出来てきたという実感を得ました。今こそ解説にチャレンジしたいと思います。 とはいえ，なかなかに難しい話ですし，私が理解しているレベルのほぼ最前線です。そのため，わかりやすく嚙み砕く余裕はほとんどありません。整数論の知識はかなり求められますし，普段の記事と比べてもだいぶレベルが高いかもしれません。その点ご了承くださ
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