【解決編】平面上の凸図形に含まれる多角形の面積 - フィボナッチ・フリーク
前回の記事で，次のような問題の解答を募集しました． 問題．平面上の凸図形に対し，「に含まれる角形の面積の最大値をの面積で割ったもの」をと書く．を動かしたとき，のとりうる値の最小値は何か？ fibonacci-freak.hatenablog.com これについてある方からTwitterでリプライをいただき，なんとこの問題は E. Sasという数学者により1939年に解かれていた ことが判明しました！（昔の人，すごい！） そこで，今回はその証明を紹介したいと思います．簡潔な証明なのですぐに終わります． 定理 (E.Sas, 1939)．任意の凸図形に対しであり，が円のときに等号が成立する． 証明．に含まれる線分のうち距離が最大のものを1つとりとする．問題の内容は相似で不変なのでの長さがであると仮定してよい．となるように座標をとる．の最大性から，はの範囲に入ることに注意する． 各に対しにおける
ChompゲームとHilbertの基底定理 - フィボナッチ・フリーク
今回はChompというゲームに関する小ネタです． Chompは石を使って2人で遊ぶゲームです．石をに並べます．プレイヤーは図のようにある1つの石を選んで，そこより右上にある石を全て取り去ります．これを交互に繰り返して，一番左下の石を取った方が負けです． 実はChompは先手必勝であることを示すことができます（このブログで以前紹介した手法です。ぜひ考えてみてください）が，今回はその話ではなく，ゲームが有限の手数で終わるかどうかという点に着目します． もちろんChompそのものは，有限個の石が一手ごとに減っていくわけなので，自明に有限手数で決着がつきます． しかし，石が右と上方向に無限に続いているという設定にした「無限Chomp」を考えると話は難しくなります．果たして無限Chompは有限手数で決着がつくのでしょうか？ 実は無限Chompは必ず有限の手数で終わることが証明できます．このことはもち
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