Pythonで数値計算のコツ：for文書いたら負けかなと思っている – はむかず！
転職してから1年とちょっとが経ち、Pythonをメイン言語としてからも同じくらいが経った。最近やっとnumpy/scipyの使い方のコツがわかってきたと思うので、マサカリ飛んでくるのを覚悟でなんか書いてみようと思う。 転職して初めてPythonを使ったというわけではない（実際wafのwscriptとかは書いたことある）が、まあでもほぼ初心者同然だった。学習曲線でいうとPythonはすごく良い言語だと思う。Python本体の言語仕様については、わりとすぐに覚えることができた。だが一方、numpy/scipyについては、そう簡単ではなく習得するにはそれなりに時間がかかったと思う。 ケーススタディ たとえば\(N\times M\)行列\(B\), \( M\times L \)行列\( C \), \( M \)次元ベクトル\(a=(a_k)_{1\leq k \leq M}\)が与えられて
HTML5版 固有ベクトルの観察
・もう一つの基底ベクトル（青）は [SPACE] キーを押しながら方向キーで操作します ・基底ベクトル（青）は [W] [A] [S] [D] の各キーでも操作できます [ルール] ・固有ベクトルは赤い線で表示されます ・固有ベクトルが任意の場合には赤い霧がかかったようになります （初期状態はその状態） ・知らなかったことを発見したら勝利 （勝利条件の自動判定はありません） [サンプルテストモード] ・[X] キーを押すと起動します ・新たに二つのベクトルが出現します ・黒いベクトルの変換先がピンク色のベクトルで表示されます ・もう一度 [X] キーを押すと消えます ・黒いベクトルは [Z] キーを押しながら方向キーで操作します リンク元の記事に戻る
ＥＭＡＮの物理学・物理数学・固有値と固有ベクトル
固有ベクトルとは？ 固有値とは？ 線形変換によって位置ベクトルの方向や長さが変化するという図形的イメージを学んだ。 ところが、ちょっと変わったものもあって、 線形変換の前後で方向の変らないベクトルというのが存在することがある。 それを「固有ベクトル」と呼ぶ。 方向が変わらないことが大事であって長さは変化してもいい。 固有ベクトルの長さが変換の前後で何倍に変わったのかを表す倍率のことを「固有値」と呼ぶ。 用語の意味としてはたったそれだけのことだ。 今回はその固有ベクトルと固有値の求め方について説明する。 こんなものが何の役に立つのかについては次回まで明らかにならないだろう。 あまり先走った疑問を抱えて疲れないようにしてほしい。 本当は固有ベクトルが何の役に立つのかの方から先に説明しようとしたのだが、 そのためには固有ベクトルと固有値の性質を少しは知っていないと話が進まない。 予め少しだけ話し
FrontPage - 琉球大学理学部物理系 Wiki
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行列の定値性 - Wikipedia
線型代数学における行列の定値性（ていちせい、英: definiteness）は、その行列に付随する二次形式が一定の符号を持つか否か (二次形式の定値性) と密接な関係を持つ概念だが、付随する二次形式を経ることなくその行列自身の持つ性質によって特徴づけることもできる。 この概念は対称行列およびエルミート行列に対して定義するのが通例であるが、そうではない行列を含むように「定値性」の概念を一般化して適用する文献もある。 定義[編集] 正定値 n × n 実対称行列 M が正定値 (positive definite) であるとは、n 個の実数を成分に持つ零ベクトルでない任意の列ベクトル z に対して、二次形式 zTMz が必ず正となるときに言う。ここに zT は z の転置行列を表す。 より一般に、n × n エルミート行列 M が正定値であるとは、任意の非零複素ベクトル z に対して、z∗ M
高速数値計算ライブラリ「Numpy」覚書き - Pashango’s Blog
Pythonで一番有名で普及しているライブラリと言っても過言ではない「Numpy」の覚書きです。かなり多機能な数値計算ライブラリで、内部はC言語で記述されているため超高速に動作します。 ベクトル ベクトルの長さ＆正規化 import numpy a = numpy.array([[2,2]]) #ベクトルの長さ length = numpy.linalg.norm(a) #length=>2.8284271247461903 #ベクトルの正規化 a / numpy.linalg.norm(a) #=>array([[ 0.70710678, 0.70710678]]) 内積＆外積 import numpy v1 = numpy.array((1,0,0)) v2 = numpy.array((0,1,0)) #内積 numpy.dot(v1,v2) #=> 0 #外積 numpy.cros
NumPyで2元1次方程式の解を求める - 偏った言語信者の垂れ流し
NumPyの行列計算って強力なんすね。いろいろ試してみてる。 3x + 2y = 14 x + y = 6こういう2元1次方程式の解を求める場合。 NumPyだとnumpy.linalg.solveで逆行列の積を求められるので係数のarrayを作って使えばいいらしい。 >>> A = numpy.array([[3, 2], [1, 1]]) >>> P = numpy.array([14, 6]) >>> X = numpy.linalg.solve(A, P) >>> X.astype(int) array([2, 4]) x = 2, y = 4となる。 これは便利だなー。 参考 numpy.linalg.solve — NumPy v1.11 Manual numpy.linalg.invとnumpy.linalg.solveを用いた逆行列計算 - 睡眠不足？！ 高速数値計算ライブ
固有値、固有ベクトル、対角化...何のため？
私は文系出身の32歳会社員です。 ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと 独学で最近始めました。 そこで... 本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが... (1)何のために固有値を求めるのでしょうか？ (2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか？ (3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか？ 回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。 例) ・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。 ・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。 ・意味はない！目的はない！ただ数学として突き詰めているだけだ！ ...などなど あっ、でも急を要している訳ではないので もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は お時間のある方はご回答いただければ幸いです。 ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べ
Basic Linear Algebra Subprograms - Wikipedia
また、 を三角行列 について解く演算なども含まれる。このレベルにはよく使われる汎用行列乗算（GEMM）操作が含まれる。 API[編集] BLASはAPIであり、各演算関数を次のように定義する。 GEMM[編集] 各行列の変換フラグ・次元・係数・アクセスオフセットを引数に取り、行列積和演算を実行、演算結果がCへ書き出される。 Trans = "N" | "T" | "C" T = float32 | float64 | complex def _GEMM<T>( TRANSA: Trans, # Flag of A transformation (None, Transpose, Conjugate_transpose) TRANSB: Trans, # Flag of B transformation (None, Transpose, Conjugate_transpose) M: in
旧・加納裕のBLOGです 特異値と固有値の関係
特異値分解（singular value decompositon）というのは、行列Aを式(1)のように分解することです。 A＝UDVT --- (1) U、D、Vの説明は面倒くさいので省略（Googleで直ぐに出ますから）。Aが正方行列でなくても式(1)に分解できるのが特徴。 ところで、特異値よりもメジャーなものに、固有値（eigenvalue）というのがありますね。それでは、特異値と固有値の関係はどうなるのでしょうか。兄弟みたいなものですから、きっと似ていますよね。 式(1)を用いて、ATAを計算すると、式(2)のようになります。 ATA＝VDUTUDVT --- (2) UTU＝Iなので、整理すると式(3)になります。 ATA＝VD2VT --- (3) 「対称行列は直交行列により対角化できる」という定理に照らし合わせてみると、ATAの固有値は、D2の要素ですね。つまり、Aの特異値は
ベクトルと行列 ベクトルと行列の演算例
３．ベクトルと行列の演算例 1) ベクトルと行列を利用した演算例 さて、数式の羅列に頭が痛くなったところで、ベクトルと行列の演算を利用してケーキを作る時の費用について具体的に計算してみましょう。 まず最初に小麦粉200グラムだけを使って、味気ないケーキを作るとします。 小麦の単価が1グラム0.1円だとすると、ケーキの費用は次のように計算できます。
面白く生きる!! 共分散行列と固有値・固有ベクトル
2024年02月 / 01月≪ 1234567891011121314151617181920212223242526272829≫03月 共分散行列・固有値・固有ベクトルってのは，高校もしくは大学の数学で習うと思いますが，正直，何に使うかさっぱりですよね． そんなもん知らなくても生きていけるぜー と思っていた時期が私にもありました． それがまぁ，知らないとやってけない世界もあるわけです． 統計つかう分野とかね． というわけで，共分散行列・固有値・固有ベクトルの私なりの解釈をメモメモ． だって，すぐ忘れるし． 共分散行列は，各観測データベクトルの偏差を列に持つ行列とその転置をかけたもの（を自由度で割ったもの）です． 何を表しているかというと，各次元間の関係性を表しています． 例えば，1次元目が身長を2次元目が体重を表していると，共分散行列の1行1列目は身長のばらつきを，1行2列目は身長と体
固有値，固有ベクトルの定義
となるような定数λとベクトル（ｎ次元の列ベクトル）が存在するとき，λをAの固有値といい，をλに属する（に対する）固有ベクトルという． ○ 任意の正方行列Aに対して零ベクトル=は常にA=λを満たすが，このような解（自明解）=は固有ベクトルに含めない． このように固有ベクトルが零ベクトルでない≠という仮定は本質的なものである． ○ しかし他方では，固有値がλ=0となることは，しばしばある．次の例においてはλ=0の固有値が存在する． 例
固有値・固有ベクトルって何に使うの？
ふと、固有値・固有ベクトルって何がそんなに嬉しいのか？何の役に立つのか？と思っていろいろ調べていた。（対角化してべき乗計算が速くできますだけだと、ちょっと勉強する動機づけとしては弱い。。）そういえば、一年前くらいに読んだpage rankの論文に固有値・固有ベクトルが使われていたのを思い出したので、これをちょこっと紹介。（解釈に間違いなどありましたら、ご指摘ください。） まず、page rankアルゴリズムについて。これは、いわずと知れたgoogleの検索処理において中心的な役割を果たす処理です。page rankの基本的な考え方は、”たくさんリンクを張られているサイトほど重要なサイトである”ということです。つまり、たくさんリンクを張られているサイトが検索で上位に現れます。加えて、同じリンクを張られているでも、重要なページ/人気のあるページからリンクを張られているのか、重要でない/人気でな
線形代数Ｉ
授業ノート（のようなものの一部） † 2011〜2012年度にかけて、培風館「教養の線形代数（五訂版）」を用いて学類一年生向けに線形代数の授業を行いました（全３０回×７５分）。 そのときに公開していた授業ノートの一部です。 間違いなどを発見した場合には、コメントを残していただけると助かります。 線形代数Ｉ/行列 線形代数Ｉ/連立一次方程式 線形代数Ｉ/行列の階数 線形代数Ｉ/行列式 線形代数Ｉ/ベクトル空間と線形写像 線形代数Ｉ/内積 線形代数Ｉ/固有値と固有ベクトル 線形代数Ｉ/対角化（一般の場合） 線形代数Ｉ/発展：ケーリー・ハミルトンの定理（対角化不能の場合） 線形代数Ｉ/発展：広義固有空間の構造とジョルダン標準形 線形代数Ｉ/実対称行列の対角化
主成分分析(線形代数)
概要 「固有値問題」の応用の1つとして、主成分分析を紹介。 記号の準備 これから説明する主成分分析は、 N 個のベクトル x1 , x2 , ・・・, xN に対して、その線形結合
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