円周率が3.05より大きいことのいろいろな証明 | 高校数学の美しい物語
半径 111 の円の円周の長さは，2π2\pi2π である。 また，この円に内接する正八角形の一辺の長さは，余弦定理より 1+1−2cos45∘=2−2\sqrt{1+1-2\cos 45^{\circ}}=\sqrt{2-\sqrt{2}}1+1−2cos45∘=2−2 よって，82−2<2π8\sqrt{2-\sqrt{2}} < 2\pi82−2<2π つまり 42−2<π4\sqrt{2-\sqrt{2}} <\pi42−2<π という円周率の評価を得る。左辺を計算すると 3.061...3.061...3.061... となるので，円周率が 3.053.053.05 より大きいことが証明された。 定番の手法で知っている人も多いでしょう。試験上では計算機が使えないのでルートの大雑把な評価が求められます。 この解法では，42−2>3.054\sqrt{2-\sqrt{
超幾何分布の意味と期待値の計算 | 高校数学の美しい物語
超幾何分布の確率質量関数は， fN,A,n(x)=ACx⋅N−ACn−xNCnf_{N,A,n}(x)=\dfrac{{}_A\mathrm{C}_x\cdot{}_{N-A}\mathrm{C}_{n-x}}{{}_N\mathrm{C}_n}fN,A,n(x)=NCnACx⋅N−ACn−x ただし，xxx がとりうる範囲は， max{0,n−N+A}≤x≤min{A,n}\max\{0,n-N+A\}\leq x\leq \min\{A,n\}max{0,n−N+A}≤x≤min{A,n} 当たりが xxx 個入っている確率 fN,A,n(x)f_{N,A,n}(x)fN,A,n(x) を計算したい。 まず，全ての選び方の数は，NCn{}_N\mathrm{C}_nNCn 通り。 このうち，当たりが xxx 個（つまりハズレが n−xn-xn−x 個）である選
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