等間隔に並ぶ素数を追い求めて〜グリーン・タオの定理〜 - INTEGERS
素数のもつ秩序。それは人類に幾度となく驚きと喜びを与えてくれました。そして、これからも与え続けてくれることでしょう。 素数の秩序に関する人類の最初の大きな勝利は素数定理 を発見し、証明したことだと思います。 素数の分布は高度に非自明で、一見すると何の法則性も見出せないように思えます。にも関わらず、このようにシンプルな漸近挙動を示すのは驚きです。 素数定理についての文献は日本語を含めて相当数存在しますし、このブログでもまとめています*1。 素数定理が証明されてから100年のときを経て、人類は次の大勝利を収めました。 Green-Taoの定理です*2。 素数は疎らに分布しているように見えますが、 は等間隔に並んでいます。等間隔に並んでいる素数は他にもあるでしょうか？ 等間隔に並ぶ素数に興味があるので、等差数列の初項および公差は指定しない代わりにその項数(長さと呼ぶ)に着目します。上記例は長さで
arcsin^2のテイラー展開 - INTEGERS
この記事は日曜数学会のAdvent Calendarの17日目の記事です。 adventar.org 数日前、日曜数学会ミニが仙台で開催されました。この記事はそこでのライトニングトークの内容に基づいています。 和算の内容を含んでいますが、私は専門家ではなく十分な文献調査をしたわけでもないため、間違いや勘違いを多く含んでいると思われます。間違いが分かり次第その都度修正致しますが、ご了承いただけますと幸いです。 建部賢弘 建部賢弘(1664-1739)は和算家であり、『綴術算経』(1722年)に円周率の累遍増約術を用いた計算が書かれています。彼の術で小数第41位まで正確に求めることができます*1。 直径の円に内接する正角形の周の長さをとするとき、が成り立ちます。を円周率の近似とすることは昔からなされていて、初等幾何学的に という漸化式の成立がわかるため、これを利用して円周率の近似計算をすること
置換の符号に関する相互法則 - INTEGERS
これは鯵坂もっちょ氏企画のAdvent Calendarの十二番目の記事です。 adventar.org 幾つかの置換を考えて、その符号を考察します。以下、置換およびその符号についての基礎知識を仮定します。 高校数学の美しい物語で読むことができる記事としては mathtrain.jp mathtrain.jp などがあります。必要となる基本事項を幾つか列挙しておきます。 少なくとも二元をもつ全順序有限集合を考えて、上の置換のなす群をと表す。 の符号はと定義される。ただし、はの転倒数*1。 は準同型写像。つまり、が成り立つ。 逆元についてが成り立つ。 巡回置換の符号はである。 転置が引き起こす置換 をどちらか一方は以上であるような正整数とし、集合に或る全順序が入っているとする(必ずしも通常の順序でなくてもよい)。の元を小さい順に、最初の個は左から右へ並べ、個目から個目までは次の行へ移ってまた
最密球充填 - INTEGERS
次元Euclid空間に合同な次元球をオーバーラップがないように充填した際の密度の最大値をとします。現在までにが決定されているものは以下の通りです。 だけは簡単にわかりますが*1、でが決定されていることは著しく感じます。上記の値よりも密な球充填は絶対に存在しないということが数学的に証明されているというのです。想像するだけでその凄さに震えます。我々はどれだけ頑張って八次元空間に%以上八次元球を詰めようと思っても、もはやそれは無駄な努力なのです。 以下、非常に簡単にではありますが、最密球充填にまつわるお話をしようと思います。 球充填密度 ハニカム球充填 Kepler予想 格子 Fourier変換とPoisson和公式 Cohn−Elkiesの定理と魔法関数の存在予想 Viazovskaと魔法関数 参考文献 球充填密度 1.1 を次元Euclid空間とする。Euclid距離をで表し、内積を と定め
素数の織り成す構造〜ガウスからグリーン・タオへ〜 MATH POWER 2017 - INTEGERS
講演スライドを公開します。スライド番号や間違い等は再構成・修正してあります。 スライドはKeynoteで作成し、数式はLaTeXiTを利用して作成しました。 1枚目 2枚目 3枚目 4枚目 5枚目 6枚目*1 7枚目 8枚目*2 9枚目 10枚目 11枚目*3 12枚目*4 13枚目*5 14枚目*6 15枚目*7 16枚目*8 17枚目*9 18枚目*10 19枚目 20枚目 21枚目*11 22枚目 23枚目*12 24枚目 25枚目 26枚目 27枚目*13 28枚目 29枚目 30枚目 31枚目*14 32枚目 33枚目*15 34枚目*16 35枚目*17 36枚目 37枚目 38枚目 39枚目*18 40枚目 41枚目*19 42枚目*20 43枚目*21 44枚目*22 45枚目 46枚目*23 47枚目 48枚目*24 49枚目 50枚目 51枚目*25 52枚目*26 5
記事一覧 - INTEGERS
多項式とその導関数の根の分布に関して、次の予想があります：予想（Sendov, 1959年） を 以上の整数とし、 を 複素数係数の 次多項式であって、その根が全て単位円周の内部または周上に分布しているものとする。このとき、 の任意の根について、その根を中…
1
リリース、障害情報などのサービスのお知らせ
最新の人気エントリーの配信
j次のブックマーク
k前のブックマーク
lあとで読む
eコメント一覧を開く
oページを開く
