微分環と双対数 - 記号の世界ゟ
微分環は、環の構造に加えて微分を考えているものでした。双対数を用いると、微分環は単なる環の議論に言い換えることができるということを知りました。けっこう感動したので、まとめておこうと思います。 双対数の定義 微分環と双対数 双対数の応用:微分を商環に拡張する 今回の記事では、を持つ可換環を環と呼ぶことにします。 双対数の定義 環の双対数とは、の集まりでとなるように演算を定めた環のことです。双対数といいつつ環であることに注意。具体的に演算を計算すると、 となります。厳密に双対数を定義するには、多項式環をイデアルで割ったもの、とすれば良いでしょう。 双対数は英語では dual number と言います。定義が似ているのは複素数ですね。を実数の集合として、の集まりでと演算を入れたものが複素数でした。 複素数もと厳密に定義ができます。 環の元が可逆元であるとは、となる元が存在することでした。つまり、
新入生に勧める数学書2018 - 記号の世界ゟ
ツイッターで大学新入生にオススメの数学書を、ハッシュタグ #新入生に勧める数学書2018 で募集しました。 タグを作りました。皆さん、自由に語りましょう。 いろんな立場の人が選ぶことで、楽しいリストができると思います。#新入生に勧める数学書2018#新入生に勧める物理学書2018 分野、理由も併記するといいでしょう。分野は数学史や伝記などもok、幅広くいきましょう。— Loveブルバキ(ラブル) (@lovebourbaki) 2018年3月7日 皆さんのオススメの本を抜粋して紹介します。 はじめに 一般 微積分 線形代数 代数学(整数) 幾何 集合と位相 みなさんのアドバイス その他 参加してくださった皆様、ありがとうございました。 （ツイートの掲載は許可をとっています。了承していただいた皆さん、ありがとうございました。） はじめに こんな企画を始めたものの、知らない人が勧める本にすぐに
整数の分割とヤング図形（可積分系入門） - 記号の世界ゟ
この記事の続きですが，本記事だけで楽しめます． tetobourbaki.hatenablog.com 当分は可積分理論に現れる基本的な手法を見ていきます． 組み合わせ問題 組み合わせ問題は一般に解くことが難しいです．組み合わせ問題の面白さというのは、全ての組み合わせを数えれば原理的には答えを求めることができるものの，それは計算機を使ってすら難しいところでしょう． 以下の動画を見れば，簡単そうな問題でも数え上げると大変なことになることが分かります． 次の動画では，簡単に計算するソフトを紹介しています．数学の力を使えばこんなことが可能になるのですね． 今回はこの問題ではなく、整数の分割を取り上げます。 整数の分割 整数の分割とは，与えられた自然数を自然数の和で書くことです． 例えば，は の 通りの分割法があります． もう少し正確に定義しましょう．和の順番を変えても同じ分割だと考えることにする
Zornの補題を使った代数的閉包の存在証明 - 記号の世界ゟ
２０１７年はZornの補題の便利さが身に沁みた一年でした． 例えば、超越基底の存在はZornの補題で簡単に証明できました．(スカイプで『微分体の理論』を読むゼミをやっていて，そこで勉強しました．） 一方で，雪江『代数学2 環と体とガロア理論』にも書いてあるように，代数的閉包の存在証明にZornの補題を適用するには注意が必要です． 体 に対して を考えても にZornの補題を適用することは出来ません． なぜならは集合ではないからです．（集合にしては大きすぎる．） ところが，足立恒雄先生の本には，Zornの補題でも代数的閉包の存在が証明できると書いてありました． Zornの補題による証明は簡潔で好きなので，これをまとめようと思います． 集合論を知ってる方や気にせず読める方は２節からお読みください． 集合論の復習 代数閉包の存在証明 終わりに 集合論の復習 素朴にZornの補題を使おうとすると，
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