計量テンソルを高校（＋大学初年度）の数学だけを使って自然に導く - Phys and Tips
はじめに 前回の記事（cos を使った内積と成分を使った内積は同じか？ - Phys and Tips）ではベクトルの内積について、「$\cos$ の内積」と「成分の内積」が等しい、つまり\[ \begin{align} \U \cdot \V = \abs{\U} \abs{\V} \cos \theta = \sum_i U_i V_i \end{align} \]が成り立つことを見てきた。また、成分の内積は、行列を使って\[ \begin{align} \U \cdot \V &= \U^T \V \nonumber \\ &= \left( \begin{array}{cccc} U_1 & U_2 & \cdots & U_n \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \\ \vdots \\ V_n \end{
ホーム - 具体例で学ぶ数学
最新記事 10ポイント増加は10パーセント増加と違う 第一宇宙速度と第二宇宙速度の意味と導出 スタッキング(stacked generalization)の発想とやり方 月の重力が地球の1/6になる理由と豆知識 1年は約52週間だが、他の考え方もできる 平行軸の定理を分かりやすく説明【慣性モーメントの計算】 運動量と力積の意味と関係を図で分かりやすく説明 バギングの意味と、ブースティングとの違い 流量と流速の意味と変換方法 ベータ分布と他の分布のおもしろい3つの関係 カテゴリー 計算（簡単な計算、ベクトル、などの代数学） 簡単な分数の計算から、難しい因数分解公式、行列まで。 図形（幾何学） 小学生で習う公式から、球面集中現象なども。 指数、対数、三角関数 高校数学で習う指数関数、対数関数、三角関数。 微積分、極限（解析学） 高校数学の微分、積分中心です。 確率（場合の数、データ分析） 平均
確率変数の収束 - Wikipedia
数学の確率論の分野において、確率変数の収束（かくりつへんすうのしゅうそく、英: convergence of random variables）に関しては、いくつかの異なる概念がある。確率変数列のある極限への収束は、確率論や、その応用としての統計学や確率過程の研究における重要な概念の一つである。より一般的な数学において同様の概念は確率収束 (stochastic convergence) として知られ、その概念は、本質的にランダムあるいは予測不可能な事象の列は、その列から十分離れているアイテムを研究する場合において、しばしば、本質的に不変な挙動へと落ち着くことが予想されることがある、という考えを定式化するものである。異なる収束の概念とは、そのような挙動の特徴づけに関連するものである：すぐに分かる二つの挙動とは、その列が最終的に定数となるか、あるいはその列に含まれる値は変動を続けるがある不変
確率変数の収束についてまとめる - ブログ村
はじめに 確率変数の収束の分類 分布収束 定義 お気持ち 例 中心極限定理 確率収束 定義 お気持ち 分布収束との関係 例 大数の弱法則 分布収束するが確率収束しない例 概収束 定義 お気持ち 確率収束との関係 例 大数の強法則 いつか終わるコイン投げ 確率収束するが概収束しない例 確実収束 定義 お気持ち 概収束との関係 例 概収束するが確実収束しない例 平均収束 定義 お気持ち 他の収束との関係 例 次平均収束するが概収束しない例 概収束するが次平均収束しない例 まとめ 参考サイト はじめに 最近、自然科学の統計学という本を読んで、その内容をまとめた記事を書いたり書かなかったりしている。 kriver-1.hatenablog.com 現在第6回の内容を書いているのだが、その途中で確率収束という単語が出てきた。確率変数の収束についてはいくつか種類があって、確率収束だけでなく弱収束、強収
ALGLIB - C++/C#/Java numerical analysis library
About ALGLIB ALGLIB is a cross-platform numerical analysis and data processing library. It supports five programming languages (C++, C#, Java, Python, Delphi) and several operating systems (Windows and POSIX, including Linux). ALGLIB features include: Data analysis (classification/regression, statistics) Optimization and nonlinear solvers Interpolation and linear/nonlinear least-squares fitting Li
RBF 補間 (Radial Basis Function Interpolation) の概要と実装 - yuki-koyama's blog
はじめに RBF 補間とは RBF 補間とは、RBF (放射基底関数, radial basis function) を用いて入力となる散布データ (scattered data) の値を補間することです。または、与えられた散布データを元に非線形な関数をフィッティング (または近似) することだと考えることもできます。 どういうときに使えるか 下図のように、 個の点列 が与えられ、それらの点を通るような滑らかな関数 を求めたいときに、RBF 補間が使えます。 また、より高次元 ( 次元とします) の空間における補間も可能です。この場合は 個の点列 が与えられたときに関数 を求めることになります。 どういう特徴があるか RBF 補間はノンパラメトリックなフィッティングの一種です。 与えられた点列を必ず通るような関数を求めることができます。 ノイズが多く密度の高いデータに対しては過学習 (ov
変分法 −無限次元空間の臨界点を見出す− - Laborify
こんにちは。高橋 和音 (Kazune Takahashi) と申します。現在は、東京大学大学院 数理科学研究科で特任研究員をしております。この記事では、変分法の概説を試みます。変分法は、微分方程式を考察する代表的な手法です。自己紹介がわりに、どうして変分法を専門にしたのかまず話したいと思います。 私は、大学の数学を勉強し始めてから、積分の世界の素晴らしさに魅了されました。 高校までですと、積分は原始関数を介して求めます。ところが、大学以降に勉強する高度な手法を使うと、例えば原始関数が書けない関数の定積分の正確な値が求まるケースがあります。また、正確な値を求めることができずとも、ある値よりも小さい or 大きいことが分かることが重要である場面も増えてきます。そういう一連の手法が好きになりました。 以下で「汎関数」が出てきますが、変分法で使う汎関数は、関数の積分で書かれます。変分法は、積分を
最小二乗法に挑戦・一次関数編 - MATLABの本棚
最小二乗法を使って直線近似をしてみます。簡単のために、今回は一次関数の形に近似する場合にしぼって解説します。 サンプルコードはこちら： clear close all % 生データの入力 x = [0 3 6 9 12 15 18]'; y = [31.9 35.5 37.1 40 41.9 44.6 47]'; % 生データをプロット plot(x, y, 'o') % 行列を作成 A = ones(7, 2); A(:, 1) = time; v = T; % 最小二乗法 u = A\v; % 近似直線のグラフを重ねてプロット x2 = 0:18; y2 = u(1) .* x + u(2); hold on plot(x2, y2)サンプルデータの説明 今回は長くなるので、覚悟して先を読んでください。（大急ぎで近似の結果だけほしい人は、polyfit関数を調べてみてください） 説明を
【プレスリリース】世界に1つだけの三角形の組 －抽象現代数学を駆使して素朴な定理の証明に成功－ | 日本の研究.com
慶應義塾大学大学院理工学研究科 KiPAS 数論幾何グループの平川義之輔（博士課程 3 年）と松村英樹（博士課程 2 年）は、『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が（相似を除いて）たった 1 組しかない』という、これまで知られていなかった定理の証明に成功しました。 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な「幾何学」的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、辺の長さが全て「整数」となる直角三角形はどのくらいあるか？という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。この流れを汲んで 20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。 本研究では、数論幾何学における「p 進 Abel 積分論」と「有理点の降下法」を応用するこ
Math book
メインページ / 更新履歴 数学：物理を学び楽しむために 更新日 2023 年 11 月 6 日 （半永久的に）執筆中の数学の教科書の草稿を公開しています。どうぞご活用ください。著作権等についてはこのページの一番下をご覧ください。 これは、主として物理学（とそれに関連する分野）を学ぶ方を対象にした、大学レベルの数学の入門的な教科書である。 高校数学の知識を前提にして、大学生が学ぶべき数学をじっくりと解説する。 最終的には、大学で物理を学ぶために必須の基本的な数学すべてを一冊で完全にカバーする教科書をつくることを夢見ているが、その目標が果たして達成されるのかはわからない。 今は、書き上げた範囲をこうやって公開している。 詳しい内容については目次をご覧いただきたいが、現段階では ■ 論理、集合、そして関数や収束についての基本（2 章） ■ 一変数関数の微分とその応用（3 章） ■ 一変数関数の
イプシロン-デルタ論法はなぜ難しいのか？ どうしたら分かるのか？ 分かる必要があるのか？ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
先週末に、N君が「イプシロン-デルタ論法って、なんすかアレ？ 全然分からないっす！」と言ってました。そのときはそれ以上話す時間もなかったし、次回会うときはこの話題を忘れてしまうかも知れないので、書き記しておきます。 僕は、伝統的なイプシロン-デルタ論法そのものには懐疑的です*1。ゴタゴタした不等式をいじり回すのは早々に切り上げて、開集合を導入したほうがいいと思います。そんな思いから、出来るだけ不等式を使わずに集合族に注目するスタイルでイプシロン-デルタ論法を紹介します。 内容： イプシロン-デルタ論法 時間や運動のイメージを捨て去る ユークリッド距離と開球体 扱う関数達と実例 平面から平面への写像 一点の周辺を記述する開球体の族 写像による開球体の像 デュエルゲームとしての連続性 論理式で書き下そう 再びイプシロン-デルタ論法 続編： 距離空間と位相空間と連続写像 イプシロン-デルタ論法
計算物理のためのC/C++言語入門
Last revised on May 25, 2000 UNIX & XWindow 環境における C/C++プログラミング言語の基礎とその計算物理への応用を解説します。 このホームページの古い版の偽ミラーサイトが存在するのでご注意ください。 本物のサイトは http://www-cms.phys.s.u-tokyo.ac.jp/~naoki/CIPINTRO/ です。 前書き 推奨図書一覧 C言語とC++言語の基礎文法の初心者向け解説 (プログラム初心者を対象としたC/C++言語の入門です) 第1章 C言語とC++言語の役割 第2章 簡単な計算 第3章 ループで繰り返し計算 第4章 配列で大量データ処理 第5章 関数で計算の分担 第6章 文字列の操作 第7章 ファイルの操作 第8章 グラフィック(XWindow System利用者向け) 高校物理の計算例 (高校生を対象として初歩的な物
Relationship between SVD and PCA. How to use SVD to perform PCA?
Principal component analysis (PCA) is usually explained via an eigen-decomposition of the covariance matrix. However, it can also be performed via singular value decomposition (SVD) of the data matrix $\mathbf X$. How does it work? What is the connection between these two approaches? What is the relationship between SVD and PCA? Or in other words, how to use SVD of the data matrix to perform dimen
Making sense of principal component analysis, eigenvectors & eigenvalues
In today's pattern recognition class my professor talked about PCA, eigenvectors and eigenvalues. I understood the mathematics of it. If I'm asked to find eigenvalues etc. I'll do it correctly like a machine. But I didn't understand it. I didn't get the purpose of it. I didn't get the feel of it. I strongly believe in the following quote: You do not really understand something unless you can expla
ひとつだけでいいから「ほとんど整数」を理解したい！ - アジマティクス
「ほとんど整数」って、ご存じですか。 ふざけているわけではありません。wikipediaにそういう記事があるんです。 ほとんど整数 - Wikipedia 詳しくは読んでいただければわかるのですが、すなわち「（ほとんど）」とか、「（ほとんど）」みたいに、「整数じゃない（小数部分がある）けど、整数にとても近い数」のことです。 厳密に定義された数学的概念というわけではなく、とにかく整数に近い数をたくさん集めたよ、という異色の記事です。それでも「なぜこんなに整数に近いのか？」ということに対して合理的な説明がつけられるものがあったりして、非常に興味深いです（もちろん、ただの偶然のこともあります）。 Almost Integer -- from Wolfram MathWorld ↑英語ですが、こちらのリンクにはもっとさくさん「ほとんど整数」の例が挙げられています。 飲み会とかの話の種としてひとつぐ
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