平均 - Wikipedia
平均（へいきん、英: mean, average, 独: Mittelwert, 仏: moyenne）または平均値（へいきんち、英: mean value, average value）とは、数学・統計学において、数の集合やデータの中間的な値を指す。欧米語の原意の中間（値）などと和訳することは少ない。 狭い意味での中間値にとどまらず、算術平均（相加平均）・幾何平均（相乗平均）・調和平均・対数平均など様々な種類で用いられる。一般的には特に算術平均を指し、集合の要素の総和を要素数で割ったものである[1][2]。 算術平均を用いる際の注意[編集] 科学観測や社会調査から得られるデータでは、算術平均を代表値の一つとして用いる。算術平均が中央値、最頻値、中点値と比べてデータの特徴をよく表すものかどうかを検討する必要がある。正規分布に近い場合は算術平均と標準偏差を用いることは適切だが、そうでない分布
対称性 - Wikipedia
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Symmetry|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。
ケーリー＝ディクソンの構成法 - Wikipedia
順序対としての複素数[編集] 複素数は、実数 a, b の順序対 (a, b) として書くことができて、成分ごとの加法と で定義される乗法とを持つ。第二成分が零であるような複素数は実数に対応する（複素数 (a, 0) は、実数 a である）。 もう一つ、複素数上に定義される重要な演算に共役がある。(a, b) の共役 (a, b)∗ は で与えられる。この共役は が非負の実数であるという性質を持っている。以下の方法で、共役はノルムを定義し、複素数の全体は実数体上のノルム線型空間になる。複素数 z のノルムは、 で与えられる。さらに零でない複素数 z に対して、共役は乗法逆元 を与える。 2つの独立した実数からなるのだから、複素数の全体は実数体上の2次元ベクトル空間を成す。 次元が高くなったことの代償として、自分が自分自身と共役になるという実数が持っていた代数的性質を、複素数は失ったともいえ
『第4章 多様体の基礎のキソ さて，この章からが本題である．現代幾何学の主たる研究対象である，「多様体」とは何 か．まずは，その定義を理解することからスタートする．これまでに何�』へのコメント
学び 第4章 多様体の基礎のキソ さて，この章からが本題である．現代幾何学の主たる研究対象である，「多様体」とは何 か．まずは，その定義を理解することからスタートする．これまでに何�
第4章 多様体の基礎のキソ さて，この章からが本題である．現代幾何学の主たる研究対象である，「多様体」とは何 か．まずは，その定義を理解することからスタートする．これまでに何�
第4章 多様体の基礎のキソ さて，この章からが本題である．現代幾何学の主たる研究対象である，「多様体」とは何 か．まずは，その定義を理解することからスタートする．これまでに何度か述べてきた，「局 所的にユークリッド空間とみなせるような空間」とは何なのか，そしてわれわれの素朴な空 間認識と，どのように関係しているのか，理解していこう． 4.1 「多様体」とは何か —— 宇宙の外には何がある？ そんな疑問を抱いたことはないだろうか．科学に関心のある人なら，少なからずそのような 質問を耳にしたり，誰かに問いかけたりしたことがあるだろう．1 数学者（かならずしも宇宙論の専門家ではない．念のため）によるひとつの回答は， —— 「外」なんてものは必要ない である．もうすこし正確にいえば，「外に空間があることを仮定せずに，宇宙そのものだけを 見て研究ができる」ということである． それを可能にするのが，
思考の記号化
ネット世代の思考パターンの特徴に、記号による思考が挙げられる。物事を考 えるとき、対象を記号として認識し、それを組み合せることで答えを出すとい うやり方だ。もちろん、こういうやり方をしなくてはならない問題もあるが、 ネット世代の人はどんな問題でもこのやり方で解決しようとする。 彼らにとって、「理解」とは、入力となる文が、自分の持っている事実や推論 規則と矛盾しないことを確かめるという行為である。入ってきた文を「○○な ら××」というルールに分解し、そこに自分が既に知っている既存のルールを 加える。そして、それらのルールが矛盾なく組み合わさるならば、「理解でき た」とする。 彼らにとって、言葉とはジグソーパズルのピースである。そして、文章とはパ ズルのピースの組み合わせである。そして、たくさんの文章を集めたとき、パ ズルのピースが相互に組み合わさって一枚の絵ができることを、彼らは「理解」 と
)
点 (数学) - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "点" 数学 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2017年12月） 数学における点（てん、英: point）の概念は、今日では非常に広範な意味を持つものとして扱われる。歴史的には、「点」というものは、古代ギリシアの幾何学者が想定したように、直線・平面・空間を形作る根元的な「構成要素」、「原子」となるべきものであり、直線、平面、空間は点からなる集合（点集合）ということになる。しかし、19世紀の終わりごろにゲオルク・カントールによる集合論の創始と、それに続く数多くの「数学的構造」の出現があって以降は、その文脈で「空間」と呼ぶことにし
0 - Wikipedia
文字 0 によって表されるものは、おもに「何もないこと」に対応する基数（自然数[注 1]）であり、1 の直前の序数（順序数）であって、最小の非負整数である。また、−1 の次の整数でもある。零（れい、ぜろ）、ゼロ（伊: zero）、セロ（西: cero）、ヌル（独: Null）、ノート（英: nought）、ニヒル（羅: nihil）などと読まれる。また、文字の形状から、稀にまるあるいはオーなどのように呼ばれることもある。なお、日本の通話表においては、0 は「数字のまる」と送られる。 数としての 0 は、整数環、実数体（あるいはさらに一般の数からなる代数系 ）における加法単位元であるという性質をもっている。文字としての 0 の使用は位取りによる記数法の桁揃えに役立つ。 数としての 0[編集] 0 は 1 の直前の整数である。多くの数体系で 0 は負の概念よりも前に同定され、負の概念は 0 よ
複素数 - Wikipedia
複素数 z = a + bi（a, b は実数）は、複素平面では、直交座標 (a, b) に対応し、それはアルガン図上のベクトル空間である。"Re" は実軸、"Im" は虚軸を意味する符牒であり、i は虚数単位と呼ばれる i2 = −1 を満たす数である。 数学における複素数（ふくそすう、（英: complex number）とは、2つの実数 a, b と虚数単位 i = √−1 を用いて z = a + bi と表すことのできる数のことである[注釈 1]。1, i は実数体上線型独立であり、複素数は、係数体を実数とする、1, i の線型結合である。実数体 R 上の二次拡大環の元であるため、二元数の一つである。 複素数全体からなる集合を、太字の C あるいは黒板太字で ℂ と表す。C は可換体である。体論の観点からは、複素数体 C は、実数体 R に √−1 を添加して得られる体の拡大であ
極限 - Wikipedia
極限値の性質[編集] 数列が収束するとき、その極限値はただ一つに限る。 収束する数列から項を有限個取り除いても、得られた数列は同じ値に収束する。 収束する数列は数の集合として有界である。 数列の発散[編集] 数列が収束しないとき、その数列は発散するという。特に、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 an が限りなく大きくなることを、数列 {an} は正の無限大に発散するといい、 または のように表す。イプシロン-エヌ論法では、数列の正の無限大への発散は、 のように定式化される。 また、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 an が限りなく小さくなることを、数列 {an} は負の無限大に発散するといい、 または、 と表す。数列 {an} が負の無限大へ発散することは、各項 an を反数にした数列 {bn} (bn = −an, n = 1, 2, 3, …)
テンソルの概念 [物理のかぎしっぽ]
ここまでにもテンソルという言葉はちょくちょく出てきましたが，いよいよテンソルの勉強を始めます．添字を使ったベクトルの扱いに慣れていれば，テンソルの計算そのものはそれほど難しくありません． 復習のため，まずスカラーから話を始めます．スカラーとは座標系によらない量ですから，例えば がスカラーだとすると，どの座標系から見ても は です． には添字も何も付きません．添字の数は です．ふむふむφ（．．） 次にベクトルを思い出しましょう．ベクトルはある座標系の上で のように書けました． と略して， と書くことができますので，添字の数は です．ベクトルの成分は，座標系に応じて変化します． 最後に， 計量テンソル の記事に出てきた計量テンソル を考えてみます．計量テンソルは次式のようにベクトルをベクトルに変換するものとして定義されていましたが，名前の通りテンソルです．添字の数は見ての通り です． 添字の数
概念 - Wikipedia
この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2018年11月） 出典は脚注などを用いて記述と関連付けてください。（2018年12月） 独自研究が含まれているおそれがあります。（2009年8月） 正確性に疑問が呈されています。（2004年3月） 出典検索?: "概念" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL 概念（がいねん）とは、命題の要素となる項（ドイツ語: Konzept・コンツェプト）が表すもの、あるいは意味づけられたものであり、言い換えれば、それが言語で表現された場合に名辞（ドイツ語: Konzept）となるもの。人が認知した事象に対して、抽象化・ 普遍化し、思考の基礎とな
心 - Wikipedia
仏教の概念については「心 (仏教)」を、その他のこころについては「こころ」を、二十八宿の一つである心（しん）については「心宿」を、動物の内臓については「心臓」をご覧ください。 心（こころ）は、非常に多義的・抽象的な概念であり文脈に応じて多様な意味をもつ言葉であり、人間（や生き物）の精神的な作用や、それのもとになるものなどを指し、感情、意志、知識、思いやり[注釈 1]、情などを含みつつ指している。 多義的用法[編集] "心"の広がりは、深く、広く、 感じるままに、思うがままに、 哲学の海、心理の森を旅する。 広辞苑は以下のようなものを挙げている。 人間の精神作用のもとになるもの。 人間の精神の作用。 知識・感情・意思の総体。 おもわく。 気持ち。 思いやり、情け。 他に 趣き、趣向、意味、物の中心、等。 概説[編集] 歴史概観[編集] 古代中国では、心は心臓、腹部、胸部に宿っていると考えられ
数学科の大学院に進むとはどういうことか？ - Willyの脳内日記
大半の人から数学は無味乾燥なものだと思われている。 いったい数学科の大学院まで行く人は何をやっているのだろうか。 英語の掲示板に「これ以上ない！」 というくらい上手い解説を見つけたので紹介しよう。 （ちなみに原文はこちら） ---- 質問： 数学科の大学院生は毎日何をして過ごしてるの？ ただ単に机の前に座って考えているだけ？ -- ヤーシャ=バーチェンココーガン, MIT 大学院生 回答： たいていの場合、数学の大学院に行くっていうことは、 本や論文をたくさん読んで何がどうなってるのか理解することだ。 難しいのは、数学の本を読むっていうのは、 ミステリー小説を読むのとは違うし、 歴史の本を読んだり、ニューヨークタイムズの論説を読むのとも、 違うって言うことなんだ。 一番の問題は、君が数学の最前線にたどり着くまでの間、 概念を説明する言葉さえほとんど存在していないっていうことだ。 例えて言え
)
ほとんど (数学) - Wikipedia
数学において、ほとんど (almost) という語は、ある厳密な意味で用いられる専門用語のひとつである。主に「測度 0 の集合を除いて」という意味であるが、それ単体で用いることはあまりなく、「ほとんど至るところで (almost everywhere)」「ほとんど全ての (almost all)」などの決まり文句でひとつの意味を形成する。 ほとんど至るところで[編集] 測度空間において、ある性質 P を満たさない点の集合の測度が 0 である (正確には、ある測度0の集合にそれが含まれる) 場合、ほとんど至るところで（英: almost everywhere、略して a.e.、仏: presque partout、略して p.p.）P を満たす、という[1]。実数上で考えている場合は、通常ルベーグ測度を用いる。 使用例[編集] f をディリクレの関数とすると、ほとんど至るところで f(x)
次元 - Wikipedia
空間次元を模式的に表した図 次元（じげん、英: Dimension、中国語: 維度）は、空間の広がりを表す一つの指標である。 直感的に言えば、ある空間内で特定の位置を指ししめすのに必要な変数の数が次元である。例えば平面上の位置を表すには、x座標とy座標、緯度と経度のような2つの変数が必要であるから、平面は2次元空間である。 dimension の訳語として「次元」という言葉が初めて見られたのは、1889年の藤沢利喜太郎による『数学に用いる辞の英和対訳字書』と言われる[1]。 数学や計算機において要素の配列の長さを指して次元ということもある。 自然科学においては、物理量の自由度として考えられる要素の度合いを言い、物理的単位の種類を記述するのに用いられる。 独立要素数[編集] 空間・時空[編集] 私たちの住む世界は共時的には3つの向きへの広がりをもった実3次元的な空間だととらえられる。また、時
尤度関数 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "尤度関数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2014年9月） 尤度関数（ゆうどかんすう、英: likelihood function）とは統計学において、ある前提条件に従って結果が出現する場合に、逆に観察結果からみて前提条件が「何々であった」と推測する尤もらしさ（もっともらしさ）を表す数値を、「何々」を変数とする関数として捉えたものである。また単に尤度ともいう。 その相対値に意味があり、最尤法、尤度比検定などで用いられる。 概要[編集] B = b であることが確定している場合に、 A が起きる確率（条件付き確率）を とする
実数 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "実数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2019年5月） 数学における実数（じっすう、仏: nombre réel, 独: reelle Zahl, 英: real number）とは、連続な量を表すために有理数を拡張した数の体系である。 実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点
リリース、障害情報などのサービスのお知らせ
最新の人気エントリーの配信
j次のブックマーク
k前のブックマーク
lあとで読む
eコメント一覧を開く
oページを開く
多様体の基礎のキソ/このノートについて i このノートについて 数学をやっていると，みんなで耳栓をして楽器を演奏しているような，そんな不自由さを 感じてしまいます．自分の音すら��
cohomology