京大数学で、理系と文系で「一文字だけ」違う問題が出題 | 今日も8時間睡眠
僕が作った新しいサイト「なかけんの数学ノート」では、現在、大学入試の数学の問題を解いてアップしてるんですが、今年の問題でおもしろいものがあったので紹介します。 京都大学の入試問題なんですが、理系に出されたものと文系に出されたものとで、一文字だけ違う、っていう問題が出たんですよね。 実際の問題は次の通りです（リンク先に解答も載せています）。まずは、理系の問題。 【問題】 四面体OABCが次の条件をみたすならば、それは正四面体であることを示せ。 条件：頂点A、B、Cからそれぞれの対面を含む平面へ下した垂線は対面の外心を通る。 京都大学 理系 2016年度 第3問 解説 そして、これが文系の問題。 【問題】 四面体OABCが次の条件をみたすならば、それは正四面体であることを示せ。 条件：頂点A、B、Cからそれぞれの対面を含む平面へ下した垂線は対面の重心を通る。 京都大学 文系 2016年度 第4
円周率と、3.14 - 伝書閑古鳥
円の面積を求める算数の問題が話題になっていて、 気になるけどスルーしよう、と思ってましたが、 まだけっこう熱がありそうなので、えいやっと書いてみるのです。 問題は次の通り。 まるまる引用はしたくないのですが、厳密性を期すために そのまま転写します（引用元はあえて書きません）。 円周率を3.14とするとき、半径11の円の面積を求めよ。 答えとしては、11×11×3.14=379.94となっていて、 これは誤りだ、と提起者は主張しています。 ぼくの立ち位置としては、「379.94で正しい」です。 「約」も「およそ」も要りません。 「379.94で正しい」です。 以下、その理由を説明しましょう。 数学的な考え方というのは、論理学が基本となります。 論理を考えるためには、まず「命題」を用意しましょう。 命題とは、「真か偽かを客観的に判断できる文章*1」です。 「東京都の面積は3000平方km以上で
今年ネットを騒がせた数学の難問集 | sign
インターネットでニュースサイトを見ていると時々『この問題が解けたらIQ150！』などといったタイトルの問題が流れてくる。そんなわけはないと思うのだがそういった問題を見るとついつい紙とペンを用意してしまう。今年もたくさんの『難問』が話題になった。今回はそれらをまとめて最後に簡単に解説を付けようと思う。 第一問 まずはオーストラリアのビクトリア州統一試験（VCE）で出題された数学の問題だ。 50セント硬貨は12本の等しい辺と角で成り立っている。 ２枚の50セント硬貨が図のように辺と辺とを隣り合わせた状態でテーブルの上に並べられているとき、θの角度はどれか。次のうちから選べ。 (a)12° (b)30° (c)36° (d)60° (e)72°
背理法被害者の会
× 「定義域が空集合の写像(関数)は存在しない(定義できない)」 と思い込んでいる数学者が多いのですが、実は ○ 「定義域が空集合の写像(関数)は唯一存在する」 ことは公理的集合論における定理です。(この元を空写像(関数)とよぶ。) このことは、数学基礎論や圏論をある程度学んだことのある数学者は解っているようだが、そうは思っていない数学者も多いようです。特に、 「定義域が空集合である写像は存在しない」 という誤解は国際的にもあるようで、 竹内外史著、「層・圏・トポス」、日本評論社(１９７８年） の本文１３ページに、 「φ 上の関数は唯一つ存在して φ 自身である」 ことを説明（証明）した後、 「こんなことを細々と説明したのは φ 上の関数は一つもないと誤解している人が往々にしているからである」 とでています。 (現在増補改訂版が復刊されています。あとがきに本文の訂正がありますので、 こちら
ピックの定理 - Wikipedia
頂点が全て格子点上にある多角形 ピックの定理（-ていり、Pick's theorem）は等間隔に点が存在する平面上にある多角形の面積を求める公式である。この場合の多角形の頂点は全て右図のように、最も近い点同士の間隔を1とする正方格子点（等間隔に配置されている点）上にあり、内部に穴は開いていないものとする。多角形の内部にある格子点の個数を i、辺上にある格子点の個数を b とするとこの種の多角形の面積 S は以下の式で求められる。 例えば図の六角形なら内部にある点が i = 39 個、辺上にある点が b = 14 個なので S = 39 + 14/2 − 1 = 45 と簡単に計算できる。 この定理は 1899 年に ゲオルグ・アレクサンダー・ピックによって初めて示され、エルハート多項式により三次元以上に拡張して一般化することができる。 同公式はまた、多面体上の図形に対して一般化することもで
y.s.memoirs weblog:教科書が変なんです。変なんです……が， - livedoor Blog（ブログ）
その後自分自身の内積が長さの 2 乗になること等が示され，いざ，これを利用して練習問題，というところで……出てくる問題が，なんと。 「次の等式を証明せよ。」 ……おいおい。たった 2〜3 ページのあいだに，こんな誰にでも分かる循環論法って，いったいどういうことなんだ……。 本校の生徒だと，たぶんこちらからそれっぽいことを言わない限り，大人しく内積の分配法則を使って「ハイできました」とやってくると思う。しかし，それは教師として容認していいものか。本質的に内積の定義とは何なのか，ここをきっかけに追究させたほうがよいものか。深追いしすぎては理解できるものも理解できなくなりはしないか。……サジ加減に大いに迷うところである。 以前内積については当随想録でも議論したことがあったが，やはり「成分表示が内積の定義」という立場と，「高校数学では内積は図形的に定義する」という立場が教科書の中でも入り乱れている
『「0は偶数だが，2の倍数ではない」（算数）』
「0は偶数だが，2の倍数ではない（2の倍数とはしない）」と算数の教科書に書いてあることをtwitterの議論で知った。 そんなバカな，と思ったが，確かに小5の算数の教科書全6社のものにそう書いてあった。 以下，その後調べた結果です。 先ず，現在の教科書の代表として啓林館「わくわく算数５上」を見ると次の通りだった。（なお，平成22年検定済・23年発行なので，平成27年現在使用のものとは若干異なっているかもしれない。） 「2でわり切れる整数を偶数」とし，0が2でわり切れることを「0÷2＝0」という式で確認して0を偶数としながら，次の頁では，「倍数というときには，0の倍数やある整数の0倍は考えないことにします」と，0を2の倍数から除いていた。 オレはこんな教え方をしていたっけ？と昔の教科書を探したら，中学校の教科書だが，昭和60年発行（昭和58年検定済）東京書籍（小平邦彦監修）中1の9頁に「どん
逆，裏，対偶
■ 逆・裏・対偶 【 このページの要約 】 ・ある命題 「p → q」 ( p ならば q ) が真（正しい）のとき，その対偶 は真（正しい）であるが，逆や裏は必ずしも真（正しい）とは限らない． ・ある命題 「p → q」 ( p ならば q ) とその対偶とは真偽が一致するので，対偶の真偽を示せば元の命題の真偽が示せる． ・逆の裏は対偶，裏の逆も対偶，逆の対偶は裏・・・などが成り立つ． ・ 命題 p → q には，集合の包含関係 P⊂Q が対応する． これを集合の要素で表わせば，「どんな x についても，x∈ P → x∈ Q 」になる． ・ P⊂Q ⇔ ⊂ だから，p → q ⇔ → が成り立つ．
初心者用 畳み込み（たたみこみ）解説
理工系の大学や高専で学ぶ皆さんが だいたい20才くらいになると直面する「たたみこみ」。 特に、 電気回路が必修になっているようなところでは 避けて通れないものです。 さっぱりわからず、 ネットで探せば何かないかなと思ったのに、 いきなり 「合成積とは ∫ot f(t-τ) g(τ) dτ 」 とか出てきちゃって嫌になってる皆さん。 嫌になってる理由は、 「やれといわれればやるけれど、 何を表してるのか意味分からない」 とか 「f(t-τ) の t-τ が なんで出てくるのか納得できない」 とかではありませんか。 基本思想を以下に説明するので、今学期 最後のチャンスと思って理解してください。
朝日新聞グローブ (GLOBE)｜Webオリジナル インタビュー越境する数学
[第7回]数学には、たくさんの豊かな意味がある。それがわかれば、これほど楽しいものはない 長岡亮介さん 明治大学客員教授 今回の企画を部内で提案したのは昨年夏。「数学が世界をつくる」と題して、「数学者は世界をどのように描こうとしているのか。実世界とどのように『共鳴』しているのか。数学の美しさを探る」と企画書に書きながら、25年前の大学受験の時の記憶が頭に蘇っていました。当時、数学の楽しさを教えてくれた予備校の先生に、話を聞きにいってみました。（2009年12月7日、東京都内で。聞き手・山口進） ――「数学は真理を叙述する詩である。真理は一つしかないが、その歌い上げ方はいくつもある」といった数学の魅力、数学の美しさを常に口にされていたのを覚えています。駿台予備校ではいつからいつまで教えていたのですか。 長岡亮介 お恥ずかしいですね。駿台では大学院の博士課程の1年目、25歳から五月雨的に40歳
【私事・私感】A horse to the water… —ある文系人間の心の叫び— | 天の古井戸
ビリー・ジョエル３度目の離婚に驚く高須に松本人志が全然興味なさそうに 、 松本「ごめん、なんなん？ビリー・ジョエルって？」 高須「え！？自分、ビリー・ジョエル興味ないんかいな？ エルトン・ジョンは？」 松本「全然ない 、俺の目の前でビリー・ジョエルがエルトン・ジョンの腹ぶん殴っても何とも思わへん」 放送室 VOL.151~175 よしもとアール・アンド・シー 参考価格￥ 5,940 価格￥ 5,670(2015/06/16 18:19時点) 発売日2013/12/25 商品ランキング21,549位 ————– 「虚数って何？意味あんの？」と高校生に言われたらどう答えるか | Taro is here! この記事を読んであらためて感じたのは、申し訳ないがやはり理系の人は他人の気持ちに生来疎い人が多いんだな、ということであった。そもそも、こういう場合の「意味あんの？」は十中十通り「自分にとって
「虚数って何？意味あんの？」と高校生に言われたらどう答えるか
高校数学で複素数を習った際、 「何これ？何の意味があるの？」 という疑問を持った人は多いのではないでしょうか。 それまでは、 「2次方程式は、解を持つ場合と持たない場合がある」 という話だったのに、それを無理矢理 「2乗すると-1になる数を考えて解いてみましょう」 と言って計算させて、何なのこれは？という話です。 確かに、 「虚数単位『i』は、普通の文字だと思って計算し、ただし、2乗すると-1になる」 という計算ルールに従って計算すれば、式変形はできるのですが、 なぜそんな計算をする必要があるのでしょうか？ そこで、 「数の概念を拡張してまで解きたい二次方程式」 として、数列の三項間漸化式を考えてみたいと思います。 複素数というものを新たに導入する動機づけがほしい 「何の役に立つのか？」 を簡単に説明する事例を挙げるのは、結構難しいです。 三次方程式の解の公式（カルダノの公式）で必要になる
「食べられるゼータ関数」を作ってみた - tsujimotterのノートブック
tsujimotter は，昨日 5 月 9 日に 歳の誕生日を迎えました。 は， と と を素因数に持つ最小の正の整数です。 ちなみに，5 月 9 日の という数字は，単に「素数」というだけでなく，その中でも特に珍しい「非正則素数」だったりして，結構気に入っています。非正則素数は，100 以下にたった３個しかないんですよ。 あと，さっき調べていて初めて知ったのですが，正十二面体の星型って，全部で 59 種類なんだそうですよ！ 正二十面体の星型一覧 - Wikipedia さて，せっかく誕生日を迎えたので，数学になぞらえて何かしたいなと考えていたところ，ちょうどタイムラインにこのようなツイートが流れてきました。 ゼータ関数を食べたい - 素数Tシャツ https://twitter.com/shinchan_prime/status/595770923220860929 やりましょう！ と
超数理能力対策：開平法で平方根を求める : 頭脳王対策室
2014年06月15日09:12 超数理能力対策：開平法で平方根を求める カテゴリ超数理能力過去問 db_k Comment(1) 2011年12月に放送された第1回頭脳王の復習になります。 東京スカイツリーのてっぺんからリンゴを落としたとき、地面に着く直前の速さはいくらになるか。 計算式を書くだけであれば、高校の物理の基本さえ分かっていれば簡単です。 運動エネルギー＝位置エネルギー という公式を使えば、 速度の二乗＝2*g*h＝2*9.8*634 ということがすぐにわかるので、あとは計算するだけです。 しかし、ここで問題になるのが平方根。 そう、ルート12426を暗算で求めなければならないのです。 おおざっぱな近似値でもよければ、約111ということがわかります。 111を二乗すれば12321になるので、そこそこ近い値です。 ただ、求められている解の有効数字が3桁である以上、正解を導くため
誰も解けない図形問題…結論出ました！
ある日弟が塾の先生に出されたという問題… その問題は3年間にわたり兄弟を苦しめ続け、ついにひげおはツイッターに助けを求めたのだった… 問題内容は最初のツイートで！
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高校数学の美しい物語 | 定期試験から数学オリンピックまで800記事
【数学】東京オリンピックエンブレムの面積を求める
球の表面積・体積 数学Iへの移行に伴う新たな視点
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