写像：単射、全射、全単射 - 大人になってからの再学習
AからBへの写像fを考える ■単射 Aの要素が、それぞれ異なるBの要素に写されるとき、写像fは「単射」であると言う。 異なるAの要素が、同一のBの要素に写されてはいけない。 ■全射 写像によって写されたものが、Bの要素すべてと一致するとき、写像fは「全射」であると言う。 異なるAの要素が、同一のBの要素に写されても構わない。 ■全単射 すでに説明した「単射」と「全射」の両方の性質を満たすとき「全単射」と言う。 AとBの要素が1対1の対応関係を持つ。 ■単射でも全射でもない 単射でも全射でもない写像も存在する。 ■Kernel(カーネル)とImage（イメージ） 写像によって0に写されるAの要素の集まりをKernel（カーネル）または「核」と呼ぶ。 写像によってAの要素すべてが写された先の要素の集まりをImage（イメージ）または「像」と呼ぶ。 集合・写像・論理―数学の基本を学ぶ 作者: 中
PRMLガール 〜 文芸部のマネージャーが「パターン認識と機械学習」を読んだら 〜 - 木曜不足
放課後の学食は、普段なら常時腹を空かせた運動部の連中があちこちにたむろっているのだが、今日は珍しく先客は一人きりだった。 静かな様子にほっとしたカズは、まったり休憩でもしようとジュースを片手に奥の目立たない席を目指す。が、学食で筆記用具を広げている女子生徒の横を通り過ぎたところで突然立ち止まった。 振り返ってその先客をよく眺めると、ツインテールの頭をどこか見覚えのある黄色い本に乗せて、机に突っ伏すようにして寝ていた。カズは思わず近寄って、本の正体を確認するためにのぞき込もうとしたそのとき。 「やっぱ、わかんない！ ……って、ひゃあ!?」 「わわっ」 突然跳ね起きたその生徒は、目と鼻の先にいたカズの姿にびっくりして悲鳴を上げた。カズもやはり驚きうろたえてしまった。 二人してしばらくそのまま息をのむようにして顔を見合わせていたが、そのうちどちらともなくぷっと吹き出した。 「あはは、ごめん……す
海城学園 数学科
海城の教育・数学科 数学学習における意欲の源 数学が得意な生徒にとっても、難しくてなかなか解けない問題は存在します。そういった難しい問題に出会ったとき、興味をもって粘り強く考えていけるような、いわば“意欲の源”を育むことが大切であると私どもは考えます。ときに、意欲の落ちた生徒から、「数学をなぜ学ぶのですか？」という問いかけを耳にすることがあります。これに対し、各担当者が明確に自己の意見と信念を述べつつ、お互いに考えた上で、質問者が納得し、意欲を再び取り戻せることを指導の目標の一つとしております。 数学学習の原動力 また、数学はその存在自体に価値があり、美しいものでもあります。言うなれば、数学の“崇高なる美”を感じる心を中学・高校において育みたい、そして、もっと知りたい、探ってみたいという探求の心が、数学学習における原動力となるように願ってやみません。 読み・書き・計算，そして論証する力 さ
高校生にお勧めする３０冊の物理学、数学書籍 - とね日記
理数系ネタ、パソコン、フランス語の話が中心。 量子テレポーテーションや超弦理論の理解を目指して勉強を続けています！ 「２００冊の理数系書籍を読んで得られたこと」という記事に対し、高校生の読者の方から「高校生向きの本も選んでほしい。」という要望があったので、取り急ぎピックアップして紹介することにした。当初１０冊のつもりだったが、あっという間に３０冊になってしまったのでそのまま紹介する。 高校までの授業内容にとらわれず、意欲的な高校生のために読んでワクワクできる本という基準で選んでいる。値段の高い本については、図書館を利用するか、ご両親に頼んでアマゾンから格安の中古本をお買い求めになるとよいだろう。 なお高校までは学校の教科書や授業が基本になるので、これをおろそかにしてはならないことを強調しておく。特に受験生はこの時期、この手の本は禁物だ。入試が終わるまで我慢してほしい。 ----------
クレオパトラの最後の吐息の一部を今あなたが吸い込む確率に驚くべき
人間の感覚は思う以上に正確で優秀だが、苦手分野ももちろんある。 そのひとつが頻度や確率を取り扱うことである。 したがって確率計算は、常識や日常感覚から外れることが多い。だからこそ確率は有益である。 以下では、問題自体に実用の含みはないが、常識や日常感覚との齟齬の大きさが啓発的だ（＝びっくりすると忘れにくい）と思われるものを紹介する。 考えるのは、この記事のタイトルに掲げた「クレオパトラの最後の吐息の一部を今あなたが吸い込む確率」である。 我々は、ラプラスの魔ほども全知ではないから、推測するにはいくつかの仮定をおかなくてはならない。 クレオパトラと我々を隔てる2千年余りの月日は、彼女の吐息に含まれる分子が大気全体に拡散するには十分な長さであり、しかしまたそれら分子が消えたり地球外に出て行くほどには長くない、と考えよう。 こうしておくと、問題は、たくさんの(たとえば100個)玉の中に数個(たと
ヒストグラム - Wikipedia
ヒストグラムの例。アメリカで1973年から1978年にかけて事故死した人数を月毎に集計したもの。横軸は各月に事故死した人数を500人毎に区切った階級を、縦軸は各階級に属する月の数（＝度数）を表している。ヒストグラムからは(a)ひと月に事故死する人数の平均はおよそ8500人前後であること、(b)ひと月に事故死する人数は6500-11500人であること、(c)分布はおよそ対称であること、などが読み取れる。 ヒストグラム（英語: histogram[1]）とは、縦軸に度数、横軸に階級をとった統計グラフの一種で、データの分布状況を視覚的に認識するために主に統計学や数学、画像処理等で用いられる。柱状図、柱状グラフ、度数分布図ともいう[1]。 工業分野では、パレート図、チェックシート、管理図、特性要因図、層別法、散布図と並んで、品質管理のためのQC七つ道具として知られている。 語源[編集] histo
それでも証明が書けないあなたのためにテンプレートを提供しようー数学となら、できること
少女：証明問題が一番苦手です。答を見ても、なんでこれで証明したことになるのか、全然ピンと来ないし。 禁煙：確かに苦手な人が多いみたいね。 少女：解く問題だったら、とにかく答を出すところまでたどり着けばいいと分かるんで努力もしようがあるけど、証明ってどこからはじめてどこへ向かえばいいのか、それさえよく分からないです。あと、当たり前の事をわざわざ証明して、余計難しくしてるんじゃないかって思うこともあります。 禁煙：そうねえ。多分、前に話したことが関係してくるかしら。数学のことばと自然言語の話。 問：数学を何故学ぶか？ 答：言葉で伝えきれないものを伝えるため／数学となら、できること／図書館となら、できること番外編 読書猿Classic: between / beyond readers 少女：数学の言葉で書かれたものを、普通の言葉に翻訳しちゃうから、かえって分からなくなるっていうんですよね？ 禁
クオンツという人たち - hiroyukikojima’s blog
(前半は、自著の宣伝なので、そっちには関心が薄く、クオンツに興味がある人は、後半に飛んでくらはい)。 これから2ヶ月の間に3冊の新著が刊行される。 最初は、今週末に刊行される『大悪魔との算数決戦』(すうがくと友だちになる物語1)技術評論社。 大悪魔との算数決戦 (すうがくと友だちになる物語1) 作者: 小島寛之著,大高郁子絵出版社/メーカー: 技術評論社発売日: 2012/06/22メディア: 単行本（ソフトカバー）購入: 15人 クリック: 633回この商品を含むブログ (10件) を見るこれは、流れは変わった、今こそ目指せ、サイエンスライター - hiroyukikojimaの日記でも、入試国語に出題される、ということ。 - hiroyukikojimaの日記でも宣伝したけど、小学生向けの数学冒険ファンタジーだ。とはいっても、もちろん、大人が読んでも面白いように書いてある。昨日、見本刷
ベックの法則と複合モナド - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
連休で疲れて、いまいち気力に欠けるんですけど … けど、モナドの話をします。2つのモナドを複合（合成）する、という話題。ある程度モナドに慣れている人向けかもしれない。 (F, μ, η), (F', μ', η') が同じ圏上の2つのモナド（μ, μ'はモナド乗法、η, η'はモナド単位）であるとき、関手としての結合F;F'（反図式順で書くならF'・F）が再びモナドになるかどうか？つまり、F;F'とうまく適合する乗法と単位を定義できるかどうか？ これについては、1960年代にベック（Jon Beck）が詳しく調べていて、事情がハッキリとわかっています*1。 で、実際に“複合モナドを構成可能な2つのモナド”の具体例を出します。この実例に対してベックの法則*2や、複合の方法を紹介します。しかし、複合がうまくいく内的なメカニズムまで説明できそうにありません。グチャグチャした複雑な等式を天下りに出
無料で自宅でやりなおす→小学校の算数・数学 | 学校・教育算数から大学数学までweb上教材をリストにした 読書猿Classic: between / beyond readers
先日の記事 誰もがどこかでつまずいた→小学校の算数から大学数学まで126の難所を16種類に分類した 読書猿Classic: between / beyond readers を読んだ人から「やりなおし魂に火をつけるだけつけて放置するのは無責任だ、何をやればいいのか教えろ」という問い合わせがあった。 小学校の算数レベルから微積分など高校＋αまで、ついている予備テストをやれば、どの章は飛ばしていいか、どこの章のどの問題を勉強すればよいかを教えてくれる往年の名著（が復刻してた） を紹介しようと思ったが（科学を志さない人にも勧められる）、買い損なった場合と人のために、web上の教材をリストにして、先の記事の補いとする。 （2017.9.6 リンク切れ等、訂正しました） 小学校〜高校 小学校の算数 中学校の数学 高校数学 大学数学基礎 小学校〜高校 小学校「算数科」，中学校・高等学校「数学科」の内容
誰もがどこかでつまずいた→小学校の算数から大学数学まで126の難所を16種類に分類した
数学嫌いはどこから生まれてくるのか？ よく聞かれる「役に立たないから」なる理由は、実のところ良くて後付け悪くて言い訳であって、その実態は、算数や数学につまずいて分からなくなった人たちが、イソップ寓話のキツネよろしく「あのブドウ（数学）は酸っぱい（役に立たない）」と言い広めているのである。 ならば撃つべきは〈算数・数学のつまずき〉である。 以下に示すのは、小学校の算数から大学基礎レベルの数学まで、「つまずいて分からなくなる」箇所を集めて１６のカテゴリーに分類したものである。 一度もつまずかず専門レベルまで一気に駆け上がることのできた一握りの天才を除けば、数学が得意な人も不得意な人もみなどこかでつまずいたであろう、さまざまな算数・数学の難所が挙げられている。 この分類が示そうとしていることのひとつは、同じ〈根っこ〉をもったつまずきが、小・中・高・大の各レベルで繰り返し出現することである。 たと
What is the abc conjecture?
What is the abc conjecture | Open and solved problems | Consequences | The algorithm Abc triples The abc conjecture is about abc triples. abc triples are triples of numbers with some special properties. First of all the numbers need to be positive integers. The smallest integer is called a, the middle one b and the largest c. We are talking about triples a, b and c, that's where the name abc tripl
数学ができる人の頭の中
（ながの・ひろゆき）。永野数学塾塾長。1974年東京生まれ。父は元東京大学教養学部教授の永野三郎（知能情報学）。東京大学理学部地球惑星物理学科卒。同大学院宇宙科学研究所（現JAXA）中退後、ウィーン国立音大へ留学。副指揮を務めた二期会公演モーツァルト「コジ・ファン・トゥッテ」（演出：宮本亞門、指揮：パスカル・ヴェロ）が文化庁芸術祭大賞を受賞。主な著書に『大人のための数学勉強法』（ダイヤモンド社）、『東大→JAXA→人気数学塾塾長が書いた数に強くなる本』（PHP研究所）など。これまでに1000人以上の生徒を数学指導してきた実績を持ち、永野数学塾は、常に予約キャンセル待ちの人気となっている。NHK（Eテレ）「テストの花道」出演。朝日中高生新聞で『マスマスわかる数楽塾』連載（2016ー2018年）。朝日小学生新聞で『マスマス好きになる算数』連載（2019ー2020年）。『とてつもない数学』（ダイ
数学の歴史２万年＋αを２５０のマイルストーンでまとめてみた
数学の営みは、我々が想像する以上に古く長い。 先史時代の遺物にも、計数の概念や天体観測に基づいた測時法があったことを示すものが発見される。 今回は、可能な限り（というかやり過ぎなくらいに）遡り、専門研究から数学遊戯、ポピュラー文化まで渉猟し、数学の歴史を画するマイルストーン（画期的出来事）を見つけ出そうとするクリフォード・ピックオーバーのThe Math Bookが取り上げる項目を手掛かりに、人類（すらも踏み越えているのだが）の営む数学の歴史を振り返ってみる。 c. 150 Million B.C. 経路積分する蟻 Ant Odometer サハラサバクアリCataglyphis fortisは、経路積分によって巣からの位置を把握する。回り道をしながら食べ物に辿り着いても最短距離で巣へ戻る。風のために砂丘の高さが変わっても、登りのために増えた分を差し引いて、巣までの水平距離を間違うことがな
昔、小学生に割り算の筆算教えてた時の教え方晒す: 不倒城
その内うちの子用に必要になりそうなので、備忘録的に。 昔というのは十数年前。一応このやり方で、大体の子は三桁÷二桁の割り算の筆算ができるところまでもってこれてた。教職免許もちではないので、実際の教壇でどう教えるのかは知らない。 対象者は、「割り算の筆算が分からない」という子。対象年齢は小学校高学年、場合によっては中学校低学年。三桁÷二桁なのは、二桁×二桁の掛け算が出来るかどうかもついでに確認出来るから、というのが理由。 仮に、205÷17という割り算の問題を想定する。途中の掛け算がシンプルなのと、余りが1出るので教えやすい、というのが理由。当時も大体この式を使っていた。 前提その一。教え方をステップ化して、どこでつまづくかを確認する。全部一度に理解出来る子は、少なくとも私が教えた中では滅多にいなかった。また、小4くらいで算数が苦手な子は、かなり初歩でつまづいたままなんとなく放置している場合
プログラマーで実際に数学を使っている人ってどれくらいいるの？ | スラド サイエンス
本家/.記事「Ask Slashdot: How Many of You Actually Use Math?」より 私はコンピューターサイエンスやゲーム開発に関連する仕事に興味のある高校生で、先生や両親からテクノロジー関連分野に進むなら数学クラスの選択が必要だといわれています。しかし、私はUnity3DやOGREを2年以上使っており、プログラミングはそれよりも長く続けていますが、高校1年で習った三角法よりも高度な数学が必要になったことはありません。それで疑問に感じたのは、実際に微分積分以上の高等数学が必要になるのか、それとも「プログラムを書くのには数学が必要」と世間で思われているだけなのかという点です。みなさんの経験をお聞かせいただけますか。
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