べき算の時計 - 数が降る街
以前の記事「mod p における乗法群を時計のように並べる」を踏まえた内容です。 この記事から読んでも分かるように書いたつもりですが、 分かりにくい箇所があれば参照して下さい。 mizumiya-umi.hatenablog.com nを2以上の整数とします。 mod n の集合 {0,1,2,……,n-1} は、加法(足し算のことです)に関して巡回群になっています。 巡回群は時計のような円状の配置にできます。 mod 12 の場合の加法巡回群は、 0 11 １ 10 ２ ９ 12 ３ ８ ４ ７ ５ ６ という、見慣れた時計の形に配置できます。 1を足すと、時計回りに1個分動きます。 0に足し続けることで全ての数が現れる数を、加法群の生成元と呼びます。 mod 12 の加法巡回群の生成元の集合は{1
128ビット符号付き整数の最大値は素数 - Rustで任意精度整数演算
概要 2^n-1 型の数はメルセンヌ数と呼ばれ、更に素数である場合にメルセンヌ素数といいます。本記事では、メルセンヌ数に対する高速な素数判定法であるリュカ・レーマーテストを、Rustの任意精度演算用クレート rug を利用して実装します。 実行環境 CPU: Intel Core i7 1.8GHz メモリ: 16GB OS(ホスト): Windows 10 Home 21H1 WSL2: Ubuntu 20.04.3 rustc: Ver. 1.55.0 cargo: Ver. 1.55.0 符号付き整数型の範囲について Rustには組み込みの整数型として 8,\,16,\,32,\,64,\,128 ビット整数[1]がそれぞれ符号付き・符号なしで備わっています[2]。そのうち符号付き整数は、他の多くの言語と同様、2の補数によって負の数が表現されます。したがって、ビット数 n = 8,
ChatGPT(GPT4)と一緒に代数学を勉強してみたらなんか謝られた - ashiato45の日記
これは何？ 最近ちびちび宮西正宜・増田佳代さんの「代数曲線入門」を読んでいるのですが、わからないところにあたったときに片手間の数学だとなかなか進まないものです。 代数曲線入門 作者:正宜, 宮西,佳代, 増田共立出版Amazon そんな折OpenAIのChatGPTの新バージョン、GPT4の性能が高いと聞いたので、「試してやろう」とかそういう気持はなく、単に一緒に学ぶパートナーとしてGPT4を試してみることにしました。 わからなかったところ 2.3節「代数曲線の局所環」で、Cをf(X,Y)=0で定まる既約代数曲線とし、Rを座標環k[X, Y]/f(X, Y)としたとき、Cの点とRの極大イデアルが一対一対応するという話をしています。ここで、極大イデアルから点をつくり、そこからまた同じ極大イデアルに戻るところを議論するところで次のように書いてあります。ここで、θはk[X,Y]からRへの全射です
ガロア理論超入門 - 美的数学のすすめ
ここまで見てきたガウス周期をガロア理論の立場から見直してみます。ガウスはガロア理論を知りませんでしたが、円分体に関しては、完全にガロア理論と同様のことを理解していたと言われています。 ガロア（Galois）は1811年生まれですからガウスが34歳の時に生まれました。そして、20歳のとき決闘で死ぬまでにはガロア理論の構想はできていましたから、ガウスが50歳前後のときにはガロア理論は誕生していたことになります。（ちなみに、ガウスは77歳で亡くなっています。）ガロアが決闘に行く前日に友人のシュヴァリエに宛て「ヤコビかガウスに、これらの定理の正しさではなく重要性について、公の場で意見を求めてほしい。」と最後の手紙を書きました。（"定理の正しさではなく重要性について"と書いたのは、ガロアにとってガロア理論－後にそう呼ばれることとなった一連の理論－が正しいことは当然だったのでしょう。）しかし、残念なが
これでわかるかもしれないガロア理論の入り口 - Qiita
0. はじめに ガロア理論というのは、一言で言うと、「体」の「自己同型写像」が構成する「群」の構造とその体の構造とのあいだの関係性についての理論です。 ここでは、以下の流れでガロア理論の話をすすめています。 前半は、ガロア群に至るまでの直観的認識を身につけるための話です: 「体」およびそのいくつかの重要な性質を認識する 「自己同型」という視点について、具体的な体を例に認識する 自己同型写像全体が持つ演算構造として、「群」を認識する 群の全自己同型写像でも一切変化しない元があり、それらの元だけでも「部分体」が成立している関係を認識する 部分体とその元の体との間にある関係をもたらした、元の体の自己同型写像の群(「ガロア群」)にある演算構造の特徴を認識する 後半は、このガロア群の具体例についての話です: 具体的に、2の3乗根の体のガロア群、および、2の5乗根の体のガロア群を導出し、それらの分析を
世の中の数字の現われ方は一律ではないって知っていましたか―ベンフォードの法則について― | ニッセイ基礎研究所
「対数（logarithm）」という言葉を聞くと、何となく身構えてしまう人が多いのではないか。学生時代に、数学で学んで、試験問題でも苦労した人もいるかもしれない。そもそも、日常生活においては、通常、一般の人が「対数」に出会うことはないと思われる。私も大学卒業後、確率や統計等を扱う仕事に従事してきているが、入社後、専門的な資格試験をパスするために、多くの試験問題を解くのに苦労して以来、日常業務で「対数」を使うことは殆どなかった、と思われる。 ただ、実は、自然界には、この「対数」に基づいている測定結果が幅広く存在している。「ベンフォードの法則（Benford’s Law）1」は、こうした自然界における測定結果の最初の桁の数値の分布が、一様ではなく、対数を用いて表される特定の分布に従っているというものである。 我々が、自然界での各種事象に現われてくる数字を観察してみた場合、１から９までの数字が一
等差数列の中の素数からラングランズ予想へ - hiroyukikojima’s blog
もう、すいぶん前、１年以上前に、黒川信重『ガロア表現と表現論』日本評論社の一部を紹介した(ガロアの定理の短めの証明が読める本 - hiroyukikojimaの日記)。このときは、「ガロアの基本定理」、すなわち、「代数拡大体の中間体と、その自己同型群の部分群が１対１対応する」という定理の、非常に短く、わかりやすい証明がこの本に載っているよ、ということを書いた。それで、この本に載っている他の定理のことも近いうちに書く、と予告してたんだけど、なんと！ それから、1年以上も歳月が流れてしまった。 前々回のエントリー(テレ東ドラマ『電子の標的2』に協力をしました - hiroyukikojimaの日記)で触れたように、今ぼくは、雑誌『高校への数学』東京出版に「素数の魅力」という連載を持っていて、そのため、素数について、いろいろと調べ直している。そこで、「ディリクレの算術級数定理」について、どう紹介
ニューラルネットの積分表現理論――リッジレット変換とオラクルサンプリングによる3層パーセプトロンの学習の数値実験 - Qiita
概要 園田翔『深層ニューラルネットの積分表現理論』[3]という論文の中で「(浅い)ニューラルネットワークがしていることは 双対リッジレット変換 (の離散化)である」ということが解説されています． この論文では入力を一般の $m$ 次元にとり，活性化関数として ReLU やシグモイド関数を含む超関数のクラスに対して結果を与えています．が，そのぶんとても難しいです． 1 そういうわけで，本稿では上の論文で提案されている「オラクルサンプリング」という手法を 活性化関数として Gauss 核 $\eta(x) = \exp(-x^2/2)$ (急減少関数)を用い， $m = 1$ 次元の場合に限って 解説し，さらにその数値実験をしようと思います． (本稿を読む前に園田先生のスライド[2]に目を通しておくことをおすすめします．) 使ったもの Python 3.6.0 Chainer v3.1.0 O
グラフ信号処理におけるサンプリングと復元 - 甲斐性なしのブログ
はじめに グラフ信号処理に関する日本語の書籍が昨年発売された。 グラフ信号処理の基礎と応用: ネットワーク上データのフーリエ変換,フィルタリング,学習 (次世代信号情報処理シリーズ 5) 作者:田中 雄一コロナ社Amazon 本記事ではその中で解説されているグラフ信号のサンプリングと部分空間情報を利用した復元について簡単にまとめた上で、実際に試てみた際のコードと結果を紹介する。 グラフ信号処理の諸概念 グラフ信号 グラフ信号は下図のようにグラフの各頂点上に値を持つ信号である。 このような頂点上に値を持つグラフの例としては、空間上に配置された複数のセンサーが挙げられる。これは、近くにあるセンサー同士が辺でつなげば、その計測値はグラフ信号とみなせる。それ以外にも、路線図と各駅の人口、SNSのつながりと各ユーザの特性（年齢などの何らかの数値）等々、グラフ信号としてモデル化できる現実の事象は様々存
Julia言語における中置演算子の扱い
はじめに Julia言語の多重ディスパッチやJITコンパイル、実行速度については周知のところだと思います。 本記事で書きたいことは数学記号との相性の良さ、特に中置演算子の性質です。 Julia言語は科学技術計算向けの言語として開発された背景があり、とくにUnicodeを使った数学記法との相性が良いように設計されています。 その例： julia> α₄ = 42 # \alpha<Tab>\_4<Tab> で入力 42 julia> 3α₄/12π # 3 * 42 / (12 * π) 3.3422538049298023 julia> 8 ∈ [1,8,12] # 要素が入っているか。Unicodeの中置演算子(\in<Tab>)が便利！ true julia> [2,4] ⊆ [1,8,12] # 部分集合の判定。Unicodeの中置演算子(\subseteq<Tab>)が便利！ fa
機械学習をやる前に学んでおくべき最低の数学
機械学習を勉強する前に学んでおくべき最低の数学の範囲について、あれこれ議論されている*1。この手の議論、なかなか不毛である。ライブラリをブラックボックスとして使う分には、数学の知識はほぼ不要。中身を考えながら使うには、大学の学部の微分積分と線形代数と確率・統計の教科書をまずは頑張れと言う自明な話になるからだ。 1. ライブラリの利用に数学はほぼ要らない 本当にライブラリ利用者としては、数学の知識をほとんど要求されない。例えばSVMの分類器を構築するのに、プログラマが指定する必要があるのは、分類先と識別のための特徴量が入った学習データと、データの項目間の関係を説明する文、チューニングするのに使えるオプションが幾つかあるぐらいだ。オプションは経験的に精度が良くなるように選ぶ。これはランダムフォレストなどでも同じになる。 ディープラーニングのライブラリ、TensorFlowだと行列形式の乗算と加
数学得意率と数学得点の相関
国際学力調査としては，OECDが3年おきに実施している「PISA」が有名ですが，IEA（国際教育到達度評価学会）が5年おきに実施している「TIMSS」もよく知られています。各国の数学と理科の学力を計測する調査です。対象は，小学校4年生と中学校2年生です。 http://www.nier.go.jp/timss/2011/index.html 日本の児童・生徒の理系学力は高い水準にあります。これは当局の報告書でもいわれていますが，教科の得意度と絡めてみると，「はて？」という傾向が出てきます。中2の数学に着目して，それを紹介しましょう。 上記調査では，「数学が得意だ」という項目に，自分がどれほど当てはまるかを訊いています。「とてもそう思う」ないしは「そう思う」と答えた生徒の率を，数学得意率としましょう。下記サイトにて，リモート集計ができます。 http://nces.ed.gov/survey
2021年にやってよかった技術書（数学，機械学習関連）と読書習慣について - The jonki
今年もこの季節... www.jonki.net 今年は子供も生まれて本を読む時間もないか...と思いましたが，時間的制約が加わることでむしろ例年より読んだかなという気がします（それでも多くはないんですが）． でも継続的に読むという習慣はできた気がします． 個人的に良かった読書習慣のコツ ちょっとずつで良いので毎日同じ本を読む（ただし体調不良のときはちゃんと休む）． 読むページ数は安定している方が良い（一気に読もうとしない．ページ数は本の難易度に合わせて調整すれば良い）． 習慣記録系のアプリを使わない．連続読書記録を作ることが目標でないし，記録が切れると燃え尽きて戻れない可能性がある． 同時に読む本は1冊で良い．増やすならいずれもバランス良く読む． 紙媒体で読んだほうが読み進めるほどに達成感が増して良い． 本の評価が高くても自分に合わないと感じたら無理せず諦める（大丈夫，他にも良い本はいっ
Topological Data Analysis : 導入 - データサイエンティスト(仮)
ブログを作ったまま1年以上放置していました（笑）。 最近、アウトプットをしていこうという機運が高まっていているため、 ブログを積極的に活用していきたいと思います。 近年、Topological Data Analysisという、 位相幾何学をベースにしたデータ分析の手法が注目され始めています。 位相幾何学とは、通称「柔らかい幾何学」とも呼ばれており、 ざっくりいうと連続的な変形で移りあえる対象は「同じ」とみなすような学問です。 よくある例えとして、コーヒーカップとドーナツの例があります。 コーヒーカップが切れない粘土のような素材でできているとすると、 コーヒーカップを少しずつ（ちぎったりしないで）変形していくと、ドーナツに変形することができます。 このとき、コーヒーカップとドーナツの共通点は、「穴が一つ空いている」です。 これは非常にざっくりした特徴ですが、一方で雑多なものを取り払ったとき
「ふたりの微積分」 - shorebird 進化心理学中心の書評など
ふたりの微積分――数学をめぐる文通からぼくが人生について学んだこと 作者: スティーヴン・ストロガッツ,南條郁子出版社/メーカー: 岩波書店発売日: 2012/10/24メディア: 単行本購入: 4人 クリック: 176回この商品を含むブログ (4件) を見る 本書は複雑ネットワークの研究や「SYNC」の著者として知られる数学者スティーヴン・ストロガッツによる高校時代の数学の恩師との往復書簡を扱った本である．原題は「The Calculus of Friendship: What a Teacher and a Student Learned about Life While Corresponding about Math」．直訳すれば「友情の微積分：教師と生徒は数学にかかるやりとりをしながら人生の何を学んだのか」ということになる． というわけで本書は単なる往復書簡集ではなく，その構成や
数学の勉強法について。 - ウォール伝、ディープWebアンダーグラウンド。
数学の勉強法ってとにかく1冊を徹底的にやるみたいなのが正攻法だみたいな風潮があるじゃん？っつーか偉い先生方がそれを言い過ぎで勉強の仕方といえばそれだってことになっちゃってると思うんだよね。ノートとペンを用意して一個一個を確かめる・・・的なさ、それってカントの純粋理性批判とかヘーゲルの精神現象学を頭から熟読しながらノートに取って行くみたいな作業じゃん？そんなやり方できる人限られてるよねっていうか普通は無理でしょう。だから色々と読むのがいいんだよね。 カントやヘーゲルに関する新書みたいなのから初めてだんだんレベルを上げていって最終的に原著になるんだけど、でもオリジナルを読む頃には相当その内容自体に精通してるんで難なく読めるっていうさ、いや、俺が仮にフッサールの本をいきなり読めって言われたら無理ですよ。入門書やらいろんな現象学にまつわる本を読んできてるからオリジナルのフッサールのテキストも理解で
【本】食える数学（神永正博） - Willyの脳内日記
アメリカの数学界には次のようなジョークがある。 問題：次のうち他と異なるものはどれか？ 1) 博士（応用数学） 2) 博士（純粋数学） 3) 博士（統計学） 4) 大きなピザ 答：2)。他の３つは家族４人を食わせることができるから。 このジョークが、一般人にも理解されるのは、やはり数学が勉強する労力の割に役に立たないと思われているからだろう。 本書は、多くの人が考える「数学って何の役に立つの？」という素人の根本的な疑問に答えるために書かれており、一般的な高校生以上なら誰でも読める構成になっている。何よりも、この本は縦書きであり、数式はほとんど登場しない。 内容に入る前に、筆者の略歴を見てみよう。筆者は高校卒業後、数学科に進み、京大数学科の博士課程を中退。東京電機大情報科学科の助手を務め、その後、日立製作所に勤務ののち、現在は東北学院大電気情報工学科准教授（理学博士）となっている。やはり、数
ベクトル空間のテンソルについて - Qiita
一ヶ月前にGoogleがTensorFlowという機械学習ライブラリを公開しました。すでにQiitaにも幾つかの投稿がされています。さて、TensorFlowの公開でテンソルという単語を初めて聞いたという方がいると思います。そのような人を対象にテンソルの入門を書きたいと思います。 テンソルというのはベクトルや行列の仲間で、ベクトルが一次元、行列が二次元状に数値が並んでいるのを一般化して、$n$次元状に数値を並べたものです。なので、多次元配列を使えば、テンソルをプログラムの中で表現できます。 実際、TensorFlowでもnumpyのndarrayという多次元配列を利用しています。プログラムを書いたり利用したりする上で、上の説明で事足りることが多いでしょう。しかし、数学的に理解するという点からは満足できないでしょう。数学的に掘り下げてみましょう。 準備 まず、テンソルはベクトルや行列の延長上
測度論の「お気持ち」を最短で理解する - Qiita
# python f = lambda x: ### n = ### S = 0 for k in range(n): S += f(k/n) / n print(S) 簡単ですね． 長方形近似の極限としてのリーマン積分 リーマン積分は，こうした長方形近似の極限として求められます(厳密な定義ではありません4)． $$\int_0^1 f(x) \, dx \; = \; \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a_k\right) \;\;\left(\frac{k-1}{n}\le a_k \le \frac{k}{n}\right) .$$ この式はすぐ後に使います． リーマン積分できない関数 さて，リーマン積分を考えましたが，この考え方を用いて，区間 $[0,1]$ 上で定義される以下の関数 $1_\mathbb{Q
大人になってから数学をやり直す（学ぶときの心がけ）｜結城浩
先日、こんな質問をいただきました。 30代のオッサンが「今から数学をやり直したい！」と思った場合、まず何から始めたほうがいい？以下は、この質問に端を発した文章です。 まず何から始めるのがいいかということですと、自分の年齢を気にするのをやめることから始めるのがいいですよ。 大きめの本屋さんに行って、そこに並んだ参考書を眺めて、自分がわかりそうな本を読んでみましょう。そして、自分の「わからなくなる最前線」を探してみるのはどうでしょうか。 ＊ ＊ ＊ 専門的な数学を学びたいというのであれば、それを教えるのに適した学校に行くのが一番ですが、それについては今は書きません。 小学校・中学校・高校の数学を、大人になってからやり直したいという場合について書いてみます。 まず、そういう「大人になって数学をやり直したい」という人は、決して少なくありません。 最近は、大人向けの数学の本もたくさん本屋さんに並んで
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