アティヤ＝シンガーの指数定理 - Wikipedia
アティヤ＝シンガーの指数定理(アティヤ＝シンガーのしすうていり、英: Atiyah–Singer index theorem)とは、スピンc多様体 の上の複素ベクトル束の間の楕円型微分作用素について、解析的指数と呼ばれる量と位相的指数と呼ばれる量とが等しいという定理である。解析的指数は与えられた楕円型微分作用素が定める偏微分方程式の解の次元を表す解析的な量であり、一方で位相的指数は微分作用素の主表象をもとにして多様体のコホモロジーを通じて定義される幾何的な量である。従って指数定理は解析学と幾何学という見かけ上異なった体系の間のつながりを与えているという意味で20世紀の微分幾何学における最も重要な定理ともいわれる。 本稿で述べる形の指数定理はマイケル・アティヤとイサドール・シンガーによって1963年に発表[1]され、1968年に証明[2] [3]が刊行された。指数定理の特別な場合として、以前
サンクトペテルブルクのパラドックス - Wikipedia
ダニエル・ベルヌーイ サンクトペテルブルクのパラドックス (St. Petersburg paradox) は、意思決定理論におけるパラドックスの一つである。極めて少ない確率で極めて大きな利益が得られるような事例では、期待値が発散する場合があるが、このようなときに生まれる逆説である。サンクトペテルブルクの賭け、サンクトペテルブルクの問題などとも呼ばれる。「サンクトペテルブルク」の部分は表記に揺れがある。 1738年、サンクトペテルブルクに住んでいたダニエル・ベルヌーイが、学術雑誌『ペテルブルク帝国アカデミー論集』の論文「リスクの測定に関する新しい理論」で発表した。その目的は、期待値による古典的な「公平さ」が現実には必ずしも適用できないことを示し、「効用」（ラテン語: emolumentum）についての新しい理論を展開することであった。 パラドックスの内容[編集] 偏りのないコイン[注釈 1
Rust入門を兼ねてプロジェクト・オイラーの問題を解く - 再帰の反復blog
とりあえず問100まで解くことに決めて始めたのだけど、問題の難易度やプログラムを書く面倒さが速いペースで増加していくので割と早い段階で問題を解くことが優先になって、Rustの機能やライブラリを理解することがおざなりになってしまった。 それでも言語の初歩的な部分についてはそれなりにRustの感覚が得られた気がする。 1. 整数とベクター 大部分の問題は、整数、整数のベクター、整数のベクターのベクター等々だけを使って解ける。 そのため、プログラムを書くときに所有権などのせいで書き方に困ることはあっても、そうした所有権とか生存期間とかの規則が問題を解く上で本質的な障害になることはそんなに無い。 「gotoしかない言語でプログラムを書いていた人がforやwhileだけでプログラムを書く」とか「破壊的変更が普通の言語を使っていた人がデータは基本的に不変な言語を使う」ような感じかも。 ベクターすら使う
この本の出版はひとつの快挙だと本気で思う-『数学ガールの秘密ノート／学ぶための対話』｜kqck
あなたは数学が好きですか。 数学に限らず、学校の勉強が好きですか。好きでしたか。 これまでの人生で「なにかを学ぶこと」に喜びを感じたことはありますか。 「理解すること、"意味がわかる"ことって楽しい！」と思った経験はありますか。 ──お答えいただきありがとうございます。これから紹介するのは、あなたにとってかけがえのない１冊になるであろう本です。 その本は『数学ガールの秘密ノート／学ぶための対話』。 つい数日前に発売されたばかりの本です。 タイトルに「数学」とありますが、実は、数学についての本ではありません。 わたしはあなたに数学を勉強してほしくてこのnoteを書いているのではありません。 この本のテーマはズバリ「対話」です。 ですので、もしもあなたが日常生活のなかで誰かと対話する機会があるのならば──そうでない人は滅多にいないと思いますが──ぜひ読んでほしいです。 本書は「数学ガールの秘密
情報量 - Wikipedia
情報量（じょうほうりょう）やエントロピー（英: entropy）は、情報理論の概念で、あるできごと（事象）が起きた際、それがどれほど起こりにくいかを表す尺度である。ありふれたできごと（たとえば「風の音」）が起こったことを知ってもそれはたいした「情報」にはならないが、逆に珍しいできごと（たとえば「曲の演奏」）が起これば、それはより多くの「情報」を含んでいると考えられる。情報量はそのできごとが本質的にどの程度の情報を持つかの尺度であるとみなすこともできる。 なおここでいう「情報」とは、あくまでそのできごとの起こりにくさ（確率）だけによって決まる数学的な量でしかなく、個人・社会における有用性とは無関係である。たとえば「自分が宝くじに当たった」と「見知らぬAさんが宝くじに当たった」は、前者の方が有用な情報に見えるが、両者の情報量は全く同じである（宝くじが当たる確率は所与条件一定のもとでは誰でも同じ
素因数分解アルゴリズム(特にSQUFOF)のこと - 再帰の反復blog
主要な素因数分解アルゴリズム SQUFOFについて 目次 主要な素因数分解アルゴリズム 素因数の性質に依存するアルゴリズム(ρ法、p-1法、楕円曲線法) 素因数の性質に依存しないアルゴリズム(SQUFOF、二次ふるい法、一般数体ふるい法) SQUFOFについて 連分数をもちいた素因数分解 シャンクスの改良 アルゴリズムの説明 例 アルゴリズムの改良 Schemeによるプログラム例 主要な素因数分解アルゴリズム ここでいう素因数分解アルゴリズムは完全に素因数分解をするアルゴリズムではなく因数(約数)をひとつ見つけ出すアルゴリズムなので、完全な分解が必要なら再帰的に実行したり試し割り法と組み合わせる必要がある。 素因数の性質に依存するアルゴリズム(ρ法、p-1法、楕円曲線法) 都合のよい性質を持った素因数を含んでいる場合に成功するアルゴリズム。都合のよい素因数を含んでいる場合は、汎用のアルゴリ
野鳥の分布にキリンのシマ模様と同じ法則が見つかる！数学者が見つけた自然界の掟「チューリングパターン」とは？ - ナゾロジー
自然界には一定の法則が存在し、その法則は数式としても表現できます。 天才数学者アラン・チューリング氏が提唱したチューリング・パターンもその１つであり、様々な生物の模様に当てはまります。 そして最近、英国シェフィールド大学数学統計学科のナターシャ・エリソン氏らの研究によって、野鳥の群れの分布にもチューリング・パターンが表れると判明しました。 チューリング・パターンとはCredit:Ex.ungue.leonem/wikipediaアラン・チューリング氏（1912-1954）は、世界に名の知れた天才数学者であり、同時に優れた暗号研究者、計算機科学者でもありました。 彼の功績として有名なのは、ドイツのエニグマ暗号の解読やコンピューターの基礎となったチューリングマシンの考案でしょう。 さらに計算・暗号解析の天才は、いわば自然界の暗号をも解読し、チューリング・パターンとして知られる「生物界に共通する
いろは ち進法
以前、算数をとても苦手にしている子供の勉強を見た時をきっかけに、小さな子供に教えることの難しさを痛感し、自分なりに色々と考察していました。 そして、「子供が、算数をどのくらい難しく感じているのか？」を大人が体験できる方法を考えはじめ、数を「いろは・・・」に置き換えて考えてみると・・・その難しさに自分でも驚嘆し・・・それをまとめてみました。 もう、すでに、知られている内容ではないだろうかと、大学の教育学部の先生に聞いてみたところ、あまり見たことがない、というご返答を頂いたので、ぜひ、ここに発表してみようと思いました。 小さなお子さんをお持ちのお母さんや、保母さんや、小学校低学年を担当されている先生の「算数指導のたたき台」にして頂ければ幸いです。 －－－－〔内容〕－－－－－－－－－－－－－－－ 〔第一のハードル〕 まず、「数」が、子供にとって、どのくらい難しいのかを実感するための解説。（本題は
うっかりチューリング完全になっちゃったもの
Accidentally Turing-Complete ― Andreas Zwinkau 本来なら、チューリング完全となるべきではなかったものがある。これは、そのようなうっかりチューリング完全になってしまったものの例である。 C++テンプレート 当初はチューリング完全を目指していなかったが、C++テンプレートはチューリング完全になってしまった。その証明は、この論文にある（PDF） x86 MMU x86のpage fault handlingは、単純なマシンの実装に使える。原理としては、page faultが1 wordをスタックに積み、それによりアンダーフローを起こして別のトラップを生成する。この仕組みは、「減算して0以下ならば分岐」処理を実現する。チューリングマシンを実装するには十分である。デモ動画、講演動画 マジック・ザ・ギャザリング マジック・ザ・ギャザリングはカードゲームであ
寿司 虚空編
「寿司 虚空編」の表紙 寿司 虚空編は、小林銅蟲[1]による寿司屋と巨大数を題材にした漫画作品。pixivコミックでウェブ版が公開[2]され、三才ブックスから単行本が発行[3][4]されている[5]。 2013年9月11日に裏サンデー[6]のU-2リーグでウェブコミックとして連載が開始された。2014年いっぱいでU-2リーグが終了したが、2015年4月13日に、pixivコミック[7]で復活し、7話以降は英版と中国語版（简体中文と繁體中文）の翻訳版が公開されている。 2017年8月10日に三才ブックスから単行本が発売された。単行本には「寿司 虚空編」の第1話~第8話と、書き下ろしの「寿司 ラスボス刑事編」が所収されている。単行本発行にともない、pixiv のサイトからは第6話の公開が停止された。単行本発行までの経緯はPixivisionのインタビュー記事[8]にまとめられている。 概要[]
巨大数
巨大数は、気の遠くなるほど大きな有限の数である。いくつ以上の数字が巨大数になるかという厳密な定義や合意はないが、単に大きな数というよりもずっと大きい、日常生活では使わないような大きさの数がイメージされている。ウィキペディア（巨大数）では、「日常生活において使用される数よりも巨大な数」とされている（2017年8月現在）。「想像力を超える超巨大な数」が巨大数であるとされることもある[1]。無限は巨大数とは別物である。具体的な巨大数は数の一覧を、巨大数に関する参考サイトはリンクを参照。 巨大数を取り扱う理論体系を巨大数論（グーゴロジー; Googology)と言う。グーゴロジーはグーゴルが語源である。巨大数研究者はグーゴロジストという。 巨大数研究の歴史[] 人々は、古くから大きな数に魅了されてきた。 仏教の経典では、大きな数を表す非常にたくさんの表現が用いられている。その中で、恒河沙、阿僧祇、
BigMath::PIより早く円周率を計算する - Qiita
ベンチマークを取ってみる まずはライバルとなるBigMath::PIの円周率100桁はどれくらい時間がかかるか計測してみます。 （本当はそれぞれ複数回試行して平均値を出したり桁数をもっと大きくしないといけないんですが…） require 'bigdecimal/math' require 'benchmark' result = Benchmark.realtime do puts BigMath::PI(100).to_s end puts "Time: #{result}s" $ ruby bigmath_pi.rb 0.3141592653589793238462643383279502884197169399375105... Time: 0.0004811960000097315s
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宇宙 (数学) - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "宇宙" 数学 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2022年11月） 数理論理学において、構造 (もしくはモデル) の宇宙（うちゅう、英: Universe）とは議論領域のことである。 数学、とりわけ集合論や数学基礎論における宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。このアイデアにはいくつものバージョンがあるため、項目を分けて説明する。 ある特定の文脈において[編集] おそらく最も単純なバージョンは、研究対象が特定の集合で閉じている限り、任意の集合が宇宙であるというものである。 もし研
1. いろいろなモデル計算 (2020/4/10)
1. いろいろなモデル計算 (2020/4/10) コロナウイルス(SARS-CoV-2) の感染がどのように広がるかについては色々な ことがいわれています。が、その背景にあるモデルはほぼ同じで、 Kermack and McKendrick の SIR モデル A contribution to the mathematical theory of epidemics, 1927, Proceedings of the Royal Society A です。これについての牧野による解説は 岩波「科学」5月号掲載予定の原稿に書いた通りなので、まずはそちら を御覧いただければと思います。 基本的にはこのモデルを使っているにもかかわらず、どう対策をする必要があ るか、については色々な人が色々なことをいっていて、大きな幅があります。 ここでは、そのうち3つを取り上げて、どのような違いが生じている
未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明 京大の望月教授 斬新・難解で査読に8年 | 毎日新聞
未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明したとする望月新一・京都大数理解析研究所教授（51）の論文が、同所が編集する数学専門誌に掲載されることが決まった。3日、京大が発表した。ABC予想は、素因数分解と足し算・かけ算との関係性を示す命題のこと。4編計646ページからなる論文は、斬新さと難解さから査読（論文の内容チェック）に8年かかったが、その正しさが認められることになった。有名な数学の難問「フェルマーの最終定理」（1995年解決）や「ポアンカレ予想」（2006年解決）の証明などと並ぶ快挙となる。【阿部周一、松本光樹】 望月教授は2012年8月、構想から10年以上かけた「宇宙際タイヒミューラー（IUT）理論」の論文4編を、インターネット上で公開した。これを用いればABC予想など複数の難問が証明できると主張し、大きな注目を集めたが、既存の数学が存立する枠組み（宇宙）を複数考えるという構想は
文系社会人が統計のために１から高校数学をやりなおしました｜hanaori
こういう人間です ・ 文系（英文学科） ・ Webエンジニア ・ 統計を勉強中モチベーションここ２年ほど統計を勉強しているのですが、そこで毎回立ちふさがるのが数学の壁でした。わたしは文系ということもあって数ⅡB（しかも途中まで）しか履修していなかったため、微分積分や線形代数などが出てくると理解することが難しく時間がかかってしまいます。 でももっと統計を知りたいし理解したい 😭 という気持ちをずっと感じていて今回数学をやり直すことにしました。 高校３年分と考えるとなかなか決心するのに時間がかかりましたが、やってよかったと思います。スケジュール感や実際使った本などを共有することで同じような方の参考になればよいなあ、と思います。 実際使用した本 ・ 講座■ よくわかる数学シリーズ 主にMY BESTシリーズを使用しました。カラーで説明もわかりやすく、目にも心にもやさしい仕上がりになっております
Math book
メインページ / 更新履歴 数学：物理を学び楽しむために 更新日 2023 年 11 月 6 日 （半永久的に）執筆中の数学の教科書の草稿を公開しています。どうぞご活用ください。著作権等についてはこのページの一番下をご覧ください。 これは、主として物理学（とそれに関連する分野）を学ぶ方を対象にした、大学レベルの数学の入門的な教科書である。 高校数学の知識を前提にして、大学生が学ぶべき数学をじっくりと解説する。 最終的には、大学で物理を学ぶために必須の基本的な数学すべてを一冊で完全にカバーする教科書をつくることを夢見ているが、その目標が果たして達成されるのかはわからない。 今は、書き上げた範囲をこうやって公開している。 詳しい内容については目次をご覧いただきたいが、現段階では ■ 論理、集合、そして関数や収束についての基本（2 章） ■ 一変数関数の微分とその応用（3 章） ■ 一変数関数の
スピン系のグラフ表現とImproved Estimator - Qiita
はじめに スピン系をモンテカルロシミュレーションする時、Swendsen-Wang法やWolff法など、Fortuin-Kasteleyn表現を用いたクラスターアップデートアルゴリズムを使うと非常に効率良くサンプリングができます。さらに、Fortuin-Kasteleyn表現が得られている時、普通にサンプリングするよりも分散が小さくなるImproved Estimatorを構成できます。 本稿では、Ising模型の磁化やビンダー比のImproved Estimatorの導出と、どのくらい分散が小さくなるのかの説明をします。 コードは https://github.com/kaityo256/mc/tree/master/improved_estimator に置いておきます。 Improved Estimatorとは サイコロとコインの例 Improved Estimatorを一言で言うと
数学好きから見た量子コンピュータ～57を因数分解した話～
Quantum Computer Programmer, Software Engineer at The University of Tokyo
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