日曜化学(3)：分子軌道法と可視化（Python/matplotlib） - tsujimotterのノートブック
いよいよ 分子軌道 を計算してみたいと思います。 今回の記事の内容を理解するとエチレンやブタジエンやベンゼンなどの分子軌道が計算でき、それをPythonのプログラムで可視化できるようになります。 これまで３回に渡って書いてきた「日曜化学シリーズ」の記事ですが、今回がまさに集大成となっています。 過去の記事を前提にお話しますので、まだの方はシリーズの過去記事をご覧になってください。 tsujimotter.hatenablog.com （番外編の日曜化学(2.5)は読まなくても、今回の内容については大丈夫です。） 前回までの記事で計算したのは、水素様原子という 原子核が１つ・電子が１つ のものでした。 そうなると、原子核が２つ以上で電子が１つ の状況（つまり分子）を計算したくなると思います。 上記の状況はポテンシャルによって表すことができますので、ハミルトニアンに反映させればシュレーディンガ
水素様原子のエネルギースペクトル解法（その4）〜 因数分解による方法 〜 - adhara’s blog
数回に分けて、水素様原子に対する（非相対論的）束縛状態エネルギースペクトル を求めるための8通りの解法を紹介する予定である。 E. Schrödingerによる波動方程式解法（ラゲール陪多項式を用いる） W. Pauliによるso(4)代数を用いる解法 su(1,1)代数を用いた解法 因数分解を用いた解法 V. Fockによる運動量表示を用いた解法 E. Schrödinger、P. S. Epstein、I. Wallerらによる波動方程式解法（放物線座標表示の解） Kustaanheimo-Stiefel 変換を用いた解法 経路積分を用いる方法 今回はその4の因数分解を用いた解法を紹介する。 因数分解(factorization)を用いた方法は歴史的にはE. Schrödingerが創出した方法であるが、P. A. M. DiracやH. Weylによる示唆もあった。 L. Infel
『正多面体と素数』の計算をしましょう(7)─正八面体・正二十面体と保型形式
これは何 はじめに 正八面体の場合 正八面体多項式 指標理論 保型形式とテータ定数 Broué–Enguehard 写像 と重み枚挙多項式 レベル4の主合同部分群 正二十面体群の場合 正二十面体方程式 ロジャース・ラマヌジャン恒等式 正二十面体と保型形式 ラマヌジャンの連分数の特殊値 レベル5の主合同部分群 分割数 まとめと展望 References これは何 二項正 \(n\,(n=8,\,20)\) 面体の作用で高々 \(\pm 1\) の定数倍の変化しか受けない正 \(n\) 面体多項式と \(SL(2,\mathbb{Z})\) の保型形式は，主合同部分群に関する保型形式によって結びつく．この繋がりを紐解く過程で現れるのは，2元線形符号の重み枚挙多項式，ロジャース・ラマヌジャン恒等式，ラマヌジャンの連分数など、種々の興味深い数学的対象である． 前回の記事（本記事から GitHub
日曜化学(2)：3次元空間における電子雲の計算（Python/matplotlib） - tsujimotterのノートブック
２日前に公開した量子力学に関する記事なのですが、たくさんの方に見ていただいて嬉しいです。Twitter上でもたくさんの嬉しいコメントをいただきました。 tsujimotter.hatenablog.com 今日は続きとして、電子雲の可視化 をしたいと思います。 前回の記事では、水素原子におけるシュレディンガー方程式 を考えました。 は波動関数で はエネルギー。 はハミルトニアンという演算子で、定義は次の通りです： この方程式をデカルト座標 から球面座標系 に直して、変数分離によって解を求めるという方法を紹介しました。 変数分離 によって、動径波動関数 と球面調和関数 に分けられるわけですが、前回の記事では特に球面調和関数 について可視化を行いました。 しかしながら、球面調和関数が教えてくれるのは「どの方向に電子が多く分布しているか」という情報です。これだけだと「３次元の中でどの辺に電子が分
日曜化学：量子力学の基本と球面調和関数の可視化（Python/matplotlib） - tsujimotterのノートブック
最近、とある興味 *1 から量子力学（とりわけ量子化学）の勉強をしています。 水素原子の電子の軌道を計算すると、s軌道とかp軌道とかd軌道とかの計算が載っていて、対応する図が教科書に載っていたりしますよね。 こういうやつです： Wikipedia「球面調和関数」より引用 Attribution: I, Sarxos 個人的な体験ですが、予備校の頃は先生の影響で「化学」に大ハマりしていました *2。 ここから「Emanの物理学」というサイトの影響で「物理」に目覚め、そこからなぜか「数学」に目覚めて現在に至ります。そういった経緯もあって、化学には大変思い入れがあります。 特にこの水素原子の軌道の図は当時から気になっていて、自分で描いてみたいと思っていました。先日ようやく理解でき、実際に自分で描画できるまでになりました。以下がその画像です： これはタイトルにもある「球面調和関数」と呼ばれる関数を
Lean community
Lean and its Mathematical Library # The Lean theorem prover is a proof assistant developed principally by Leonardo de Moura. The community recently switched from using Lean 3 to using Lean 4. This website is still being updated, and some pages have outdated information about Lean 3 (these pages are marked with a prominent banner). The old Lean 3 community website has been archived. The Lean mathem
九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所
2022.04.20 IMI宣言2021，九州大学基金「産業数学人材育成プロジェクト」へのご協力をお願いいたします． 2024.04.25 産学連携と数理・暗号分野連携によるカードベース暗号の深化と新境地(2024/5/22(水)開催)のお知らせ 研究集会・セミナー 2024.04.18 2024年4月 IMI Colloquiumを開催しました お知らせ 研究集会・セミナー 2024.04.16 IMI Colloquium in May 2024 (5/8(水)開催)のお知らせ 研究集会・セミナー 2024.04.15 令和５年度 IMI自己点検·評価報告書と外部評価結果を公開しました お知らせ IMI ニュース 2024.04.10 佐伯 修 教授が令和6年度科学技術分野の文部科学大臣表彰「科学技術賞」を受賞 受賞 IMI ニュース 一覧を見る
「統計数理」既刊目次
各論文の全文pdfをご覧いただけます。 pdfを公開しているものについては、著作権は統計数理研究所に帰属します 第71巻 第１号 ，第２号 (2023年) 第70巻 第１号 ，第２号 (2022年) 第69巻 第１号 ，第２号 (2021年) 第68巻 第１号 ，第２号 (2020年) 第67巻 第１号 ，第２号 (2019年) 第66巻 第１号 ，第２号 (2018年) 第65巻 第１号 ，第２号 (2017年) 第64巻 第１号 ，第２号 (2016年) 第63巻 第１号 ，第２号 (2015年) 第62巻 第１号， 第２号 (2014年) 第61巻 第１号， 第２号 (2013年) 第60巻 第１号， 第２号 (2012年) 第59巻 第１号， 第２号 (2011年) 第58巻 第１号， 第２号 (2010年) 第57巻 第１号， 第２号 (2009年) 第56巻 第１号， 第２号
最適輸送の解き方
最適輸送問題（Wasserstein 距離）を解く方法についてのさまざまなアプローチ・アルゴリズムを紹介します。 線形計画を使った定式化の基礎からはじめて、以下の五つのアルゴリズムを紹介します。 1. ネットワークシンプレックス法 2. ハンガリアン法 3. Sinkhorn アルゴリズム 4. ニューラルネットワークによる推定 5. スライス法 このスライドは第三回 0x-seminar https://sites.google.com/view/uda-0x-seminar/home/0x03 で使用したものです。自己完結するよう心がけたのでセミナーに参加していない人にも役立つスライドになっています。 『最適輸送の理論とアルゴリズム』好評発売中！ https://www.amazon.co.jp/dp/4065305144 Speakerdeck にもアップロードしました: https
クォータニオンとは何ぞや？：基礎線形代数講座 - SEGA TECH Blog
---【追記：2022-04-01】--- 「基礎線形代数講座」のPDFファイルをこの記事から直接閲覧、ダウンロードできるようにしました。記事内後半の「公開先」に追記してあります。 --- 【追記ここまで】--- みなさん、はじめまして。技術本部 開発技術部のYです。 ひさびさの技術ブログ記事ですが、タイトルからお察しの通り、今回は数学のお話です。 ＃数学かよ って思った方、ごめんなさい（苦笑） 数学の勉強会 弊社では昨年、有志による隔週での数学の勉強会を行いました。ご多分に漏れず、コロナ禍の影響で会議室に集合しての勉強会は中断、再開の目処も立たず諸々の事情により残念ながら中止となり、用意した資料の配布および各自の自学ということになりました。 勉強会の内容は、高校数学の超駆け足での復習から始めて、主に大学初年度で学ぶ線形代数の基礎の学び直し 、および応用としての３次元回転の表現の基礎の理解
閉半環を使ってグラフ上の最短距離を計算する！
この記事は Haskell Advent Calendar 2020 21日目の記事です。 以前の記事でトロピカル行列を使ったグラフの最短経路の求め方を解説しました。 ここではトロピカルな隣接行列の累乗を収束するまで繰り返すという方法で最短経路を計算しましたが、実は閉半環という代数を考えると直接的に最短経路を求める計算が可能になります。そこで今回はその方法について解説したいと思います。 以前はHaskellのリスト [a] をベクトルとして行列を実装しましたが、今回はそれだと実装が少し煩雑になるので型レベル自然数を型引数に持つ Vector n a を中心に実装していきたいと思います。この話は以下の Functional Pearl が元になっていますが、この論文もリストを使って実装されているので Vector n a を使ってどのように実装できるかはこの記事で新しく試したところです。 ト
Juliaで精度保証付き数値計算
Juliaを使って、精度保証付き数値計算の方法を紹介します。精度保証付き数値計算は「敷居が高い」と言われ続けていますが、その敷居をみんなが跨げるようにするのが本稿の目的です。Juliaは近年飛ぶ鳥を落とす勢いの計算機言語で、区間演算が実装されているIntervalArithmetic.jlというパッケージがあります。これを利用して、精度保証付き数値計算を実装した例を紹介します。精度保証付き数値計算ってこうやるんだと身近に感じてもらい、今後使ってもらったら嬉しいです。 注意 区間演算の実装であるIntervalArithmetic.jlの実装にまだ不安があり、精度保証付き数値計算で論文を書くときは、MATLABのINTLABやC++のkvライブラリを利用することを推奨します。今はまだ、こうやって実装するのかと気軽に精度保証付き数値計算を体感してもらうためのコンテンツです。今後、区間演算の実装
「π＞3.05を凄すぎる方法で証明」を整数論的に考える - tsujimotterのノートブック
「」を示す問題が2003年の東大入試で出題されました。これは有名なのでみなさん良くご存じかと思いますが、一方で以下の動画のような解法はご存知でしょうか？ www.youtube.com たいへん面白い解法なので、まずは一度ご覧いただきたいです。動画の解説もとても丁寧です。今回の記事はこの動画の内容を前提としてお話したいと思います。 動画の概要欄にもリンクが載っていますが、Yahoo知恵袋の以下の質問の「その他の回答」に載っていた回答が元ネタだそうです。 detail.chiebukuro.yahoo.co.jp 元ネタの人はどうやって発見したんでしょうね。いやー不思議です。 今回私が考えたいのは、いったいどうしてこんな解法が存在するのであろうかということです。登場するパラメータが絶妙なバランスで構成されていて、このような解法が存在すること自体が非自明です。 今回はその背景にある理屈を整数論
D進について
Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami 大分遅れたけど，D進すべきかどうかという話，どんな仕事をすることになっても，どんな生活レベルになっても，一生数学を続けていきたい，と思っているのなら，すればいいんじゃないかな，と思う。 2014-04-23 22:44:40 Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami 僕が修士のときは，D進すべきかどうかでは迷わなかった。留学すべきかどうかでは迷っていたけど。今振り返ってみると，迷わなかった理由は以下の二つだと思う。1. 学部生のときにある程度の覚悟ができていた。2: 修士のときの先生方・先輩方が，そういう不安で暗い部分を一切僕に見せなかった。 2014-04-23 22:47:43 Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami 1. について，自分の学部４年のときの雑記の一部を振り返ってみる：
箸袋で作った図形は正五角形か？ - tsujimotterのノートブック
今日は 箸袋があるとつい作っちゃうこの図形 についての話です。 細長い紙を用意して、上の図をイメージしながら折り曲げて「ぎゅっと」すると、きれいに正五角形が作れてしまいます。 箸袋に限らず、お手元に紙テープなど「細長い帯状のもの」があれば簡単に折ることができます。よかったらぜひやってみてください。 ところで、上で作った図形はたしかに五角形ですが、本当に正五角形だろうか？ というのが本日の問いです。つまり、辺の長さと角の大きさは、厳密にすべて等しいのでしょうか？ これまで漠然と正五角形だろうと思っていましたが、よくよく思い返してみると、それを証明したことはありませんでした。一見簡単にできそうな気がしたのですが、やってみたらなかなかチャレンジしがいのある問題でした。 というわけで、今日は「箸袋で作った図形が正五角形であること」を証明してみたいと思います！ tsujimotterは昨日の夜にこの
Provably Strict Generalisation Benefit for Equivariant Models
It is widely believed that engineering a model to be invariant/equivariant improves generalisation. Despite the growing popularity of this approach, a precise characterisation of the generalisation benefit is lacking. By considering the simplest case of linear models, this paper provides the first provably non-zero improvement in generalisation for invariant/equivariant models when the target dist
連分数展開とその計算方法【連分数計算アプリの紹介付き】 - tsujimotterのノートブック
今回の記事は「シリーズ：連分数とペル方程式」の１日目の記事となっています。関連する記事は こちら からご覧いただけます。 今日は、連分数展開 について紹介したいと思います。 ３日連続 で 「連分数」 に関連する記事を公開したいと思っています。明日以降の記事の準備として、以下の３つのトピックを紹介したいと思います： 連分数展開を計算するためのウェブアプリの紹介 連分数展開の計算方法の紹介（２通り） 連分数を用いた無理数の近似 連分数とは という形に、分数が入れ子になった構造の分数のことを指します。 特に、各分子の数列 がすべて であるものを正則連分数といいます。 今回の記事では、正則連分数のみを扱いたいと思います。正則連分数は のように表すことができます。 また、分数の入れ子を無限に繰り返すことで なるものを考えることができ、これも連分数ということにします。（特に、分子が であるものを正則連
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基礎線形代数講座
