平行曲線を数式を使って考えてみる｜マスログ
こんにちは。和からの数学講師の岡本です。以前「平行曲線」について記事を書きました 意外と知らない平行曲線のお話 今回は、数式を使ってがっつり考えていきます。 １．平面上の曲線とパラメータ表示 平面に描く曲線でなじみ深いのが、放物線です。そのほかにも、円やサイン・コサインなどの波の曲線もよく見かけます。基本的に\(xy\)平面に直線や曲線を描く場合、\(y=f(x)\)という関数の情報があれば\(x\)に1や2、3と数字を入れるだけで、\(y\)の値が計算でき、点\((x, f(x))\)がプロットされていきます。つまり、「曲線」とは\((x, f(x))\)のペア全体で表されます。これをもう少し一般化すると「\(x\)と\(y\)の関係」の情報があれば、平面上に図形が描けるというわけです。そこで、第3の変数\(t\)を使って、例えば\(x(t)=\cos t, y(t)=\sin t\)と
ユークリッド原論 総目次
HOME＞ユークリッド原論総目次 ユークリッド原論 ユークリッド原論 総目次 はしがき 第I巻 定義・公準・公理・命題目次 定義 定義DI-1 定義DI-2 定義DI-3 定義DI-4 定義DI-5 定義DI-6 定義DI-7 定義DI-8 定義DI-9 定義DI-10 定義DI-11 定義DI-12 定義DI-13 定義DI-14 定義DI-15 定義DI-16 定義DI-17 定義DI-18 定義DI-19 定義DI-20 定義DI-21 定義DI-22 定義DI-23 公準 公準P-1 公準P-2 公準P-3 公準P-4 公準P-5 公理 公理A-1 公理A-2 公理A-3 公理A-4 公理A-5 命題 命題I-1 命題I-2 命題I-3 命題I-4 命題I-5 命題I-6 命題I-7 命題I-8 命題I-9 命題I-10 命題I-11 命題I-12 命題I-13 命題I-14 命題
線形代数とは？初心者にもわかりやすい解説 | HEADBOOST
「線形代数を簡単に理解できるようになりたい…」。そう思ったことはないでしょうか。当ページはまさにそのような人のためのものです。ここでは線形代数の基礎のすべてを、誰でもすぐに、そして直感的に理解できるように、文章だけでなく、以下のような幾何学きかがく的なアニメーションを豊富に使って解説しています。ぜひご覧になってみてください（音は出ませんので安心してご覧ください）。 いかがでしょうか。これから線形代数の基礎概念のすべてを、このようなアニメーションとともに解説していきます。 線形代数の参考書の多くは、難しい数式がたくさん出てきて、見るだけで挫折してしまいそうになります。しかし線形代数は本来とてもシンプルです。だからこそ、これだけ多くの分野で活用されています。そして、このシンプルな線形代数の概念の数々は、アニメーションで視覚的に確認することで、驚くほどすんなりと理解することができます。 実際のと
2線分の交差判定手法 (2次元) - Qiita
AtCoderで遊んでいたところ「このような問題」に出くわした。 そこで同一平面上に存在する2線分の交差判定手法について調査した。 線分が交差する条件 線分 $AB$ と線分 $CD$ について考える。 (1) 点 $A$ 点 $B$ を含む直線 $AB$ を境界線として平面を分割するとき、点 $C$ 点 $D$ がそれぞれ別の領域に存在 (2) 点 $C$ 点 $D$ を含む直線 $CD$ を境界線として平面を分割するとき、点 $A$ 点 $B$ がそれぞれ別の領域に存在 (1), (2)の条件を共に満たすとき線分 $AB$ と線分 $CD$ は交差する。 点の存在する領域 点 $P$ が平面を分割する直線に対してどちらの領域に存在するかは、直線の方程式に点 $P$ の座標を代入した値の正負で判定ができる。 例えば、直線 $x - y = 0$ に対する点 $C$ $(4, -2)$ の
三角形と外積 - Qiita
はじめに 三角形は素晴らしいです。この記事では回転方向から三角形と点の内外判定までを説明します。(数学的な話がありますが、本当に正しいかどうかは保証できませんのでご了承ください...) 時計回りか反時計回りか 2次元平面上の一直線上に並んでいない3点を順番に結ぶと、それは時計回りか反時計回りかのどちらかに区別することができます。点O, A, Bを O → A → B の順で結ぶと時計回りで、 O → B → A の順で結ぶと反時計回りとなります。 ベクトルの外積 ここで、いきなりですがベクトルの外積について覚えていますか？ $$(a_x, a_y, a_z) \times (b_x, b_y, b_z) = (a_yb_z-a_zb_y, a_zb_x-a_xb_z, a_xb_y-a_yb_x)$$ $$\big| \vec{a} \times \vec{b} \big| = \big|
半径１の円周の長さはなぜ８になるのか - ねくノート
平面 $\rea\ef 2$ 上の，$ ( 0 , 0 ) $ と $ ( x , y ) $ に端点を持つ線分を考えます． この線分の長さは $x+y $ だと"示す"ことができます．まず，この線分の長さは下図の直角三角形の斜辺の長さです． この斜辺の長さが $ x + y $ であることを示せばよいのです．いまこの直角三角形の底辺と高さの和は $ x + y $ です．そこで直角部分を次のように変形させてみます． 折れ線部分の長さは依然 $ x + y $ のままです．さらにこの折れ線を次のように変形させます． この折れ線の長さも $ x + y $ のままです．この折れ線の変形操作をどんどん続けていきます． するとこの折れ線は長さ $ x + y $ を常に保ったまま，斜辺にどんどん近づいていき，やがて斜辺に収束していきます．このことから斜辺の長さは $ x + y $ になるという
未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明 京大の望月教授 斬新・難解で査読に8年 | 毎日新聞
未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明したとする望月新一・京都大数理解析研究所教授（51）の論文が、同所が編集する数学専門誌に掲載されることが決まった。3日、京大が発表した。ABC予想は、素因数分解と足し算・かけ算との関係性を示す命題のこと。4編計646ページからなる論文は、斬新さと難解さから査読（論文の内容チェック）に8年かかったが、その正しさが認められることになった。有名な数学の難問「フェルマーの最終定理」（1995年解決）や「ポアンカレ予想」（2006年解決）の証明などと並ぶ快挙となる。【阿部周一、松本光樹】 望月教授は2012年8月、構想から10年以上かけた「宇宙際タイヒミューラー（IUT）理論」の論文4編を、インターネット上で公開した。これを用いればABC予想など複数の難問が証明できると主張し、大きな注目を集めたが、既存の数学が存立する枠組み（宇宙）を複数考えるという構想は
数学を愛する会 on Twitter: "【円を3等分する選手権表彰】 数学クラスタにケーキを切らせるとこうなる https://t.co/CKH1fgxYh8"
【円を3等分する選手権表彰】 数学クラスタにケーキを切らせるとこうなる https://t.co/CKH1fgxYh8
無限
・集合はそのある真部分集合と一対一対応があるとき，無限集合と呼ばれる ・集合間の大小関係は，その集合間の写像の存在に基づいた濃度で表す ・集合はその全ての要素を並べることができるとき，可付番集合と呼ばれる ・自然数，整数，偶数，奇数，有理数，自然数の直積集合などは可付番集合 ・実数は可付番集合ではない（カントールの対角線論法） ・実数の濃度は自然数の濃度よりも高く，自然数の冪集合の濃度に等しい ・冪集合の濃度はもとの集合の濃度よりも高くなる ・可付番無限集合の濃度をアレフ・ゼロと呼ぶ ・可付番無限集合は濃度が最小の無限集合である
フーリエ変換とは何ですか？簡単な発見に至る歴史、基礎理論と具体的な用途(1例程度)を教えてください。
回答 (5件中の1件目) まず、フーリエ変換がなぜ作られたかについては以下の素晴らしい解説をご覧ください。 フーリエ変換とは何ですか？簡単な発見に至る歴史、基礎理論と具体的な用途(1例程度)を教えてください。に対する岡部 健 (Ken Okabe)さんの回答 僕は、 今なぜ最近はフーリエ変換という言葉をよく聞くようになったか？ というところをすこ補足したいと思います。 そこで用途について少し説明させてください。 僕は、高校生くらいのみなさんに、以下のように説明しています。 実はフーリエ変換は、今ほどは使われていませんでした。200年くらい、ほぼ、ずーっと使ってなかった。とこ...
【GIF多め】ギャラリー：目で見る複素数 - アジマティクス
2乗して-1になる数「」と、実数を使って「」と表される数を複素数といいます。 複素数は、和をとったり積をとったり逆数をとったりといろいろできるわけですが、それらを図示してみるときれいな構造が見えることがあります。 この記事は、細かい解説はそこそこにして、複素数を眺めてうわ〜きれいだね〜素敵だね〜っていう記事です。 複素平面 任意の複素数は、平面上の一点として表すことができます。 今でこそ「複素数といえば平面」というイメージがあるかもしれませんが、「複素数を平面上の一点として表す」というのは驚くほど画期的なアイデアです。 それまで、複素数は「方程式を解く途中にだけ出てきて、いざ解かれたあかつきには消えてしまう」という「便宜的な数」「虚構の数」と思われていました。 ガウスによって「複素平面」のアイデアが導入されてようやく複素数が図形的な表れを伴った。複素数にはそんな歴史があるようです。 複素数
何なんだろうな。あいじょうって。「10のi乗」みたいな数を考える - アジマティクス
みなさんは、好きな複素数ってありますか？（ただし実数は除く） 「好きな整数」を持ってる人なら少なくないと思います。それこそラッキー7の7とか。自分の誕生日とか。691とか。 「好きな実数」まで広げても、eとかπとかとか、いろいろあるでしょう。 でも、「複素数」となると？ 「私の好きな複素数は○○です」って言ってる人、ほとんど聞いたことないです。あったとしても、2乗して-1の「」そのものとか、3乗すると1になる「ω（）」とかぐらいのものでしょう。 これって不思議だと思うんですよね。整数だったら2でも3でも163でも、それぞれに面白い性質が山ほどあることを思うと、例えば「」や「」などという個別の複素数にもそれぞれに面白い性質はいくらでもある、と考えるのは当然でしょう。でも、個別の整数について面白い性質を知っているほどには、個別の複素数の持つ面白い性質をわれわれは知らない。不思議です。 そういう
pisan-dub.jp(2023-10-31更新)
整数の計算にかかわるさまざまな概念について、その歴史的な過程を提示し、定義を示して証明し、さらに実際に計算しながら多面的に学んでいく。
ある数が「○の倍数か」を見分けるための“万能”な方法
ある数が割り切れるかどうか、つまりnの倍数であるかどうかを知りたい場面は結構たくさんある。分数を約分するときや、身近なところだと割り勘を計算するときなどだ。 場面の多さに比して、ふつう倍数の判定は難しい。例えば「64811は11の倍数か？」に瞬時に答えられる人はそう多くないはずだ。 ただし、いくつかの小さい整数に対しては、その倍数に関する法則が広く知られていて簡単に見分けられることがある。 例えば、2の倍数なら必ず一の位は2の倍数（偶数）になる。3の倍数であれば、各桁の数字を足し合わせると和が3の倍数になる（例：357→3+5+7＝15は3の倍数）。特に3の倍数の判定法は簡単なので知っておくと便利だ。 ほかのいくつかの素数に対しても、簡単な判定法があるので以下の画像にまとめてみた。また、合成数の判定はこれらを組み合わせて行えばよい（例えば6の倍数は2と3どちらの倍数でもあることを判定するこ
「数学者は変人ばかり」って本当？ 天才数学者・千葉逸人先生に聞いてきた | i:Engineer(アイエンジニア)
こんにちは。ヨッピーです。本日は 東京大学 に来ています。 僕みたいな低IQの屁こき豚がこんな所に来てしまったら、一歩入っただけで 知恵熱 出してぶっ倒れそうな気がしますが、取材のためなので仕方がありません。 さて、「i:Engineer」ではこれまで、 京都大学の先生 や 東工大の学生 など、いわゆるアカデミックな方々にも取材をさせていただきました。その取材の際に、 「数学者は変人しかいない」 「人格破綻してる」 「狂人の巣窟」 なんて、「 数学者やべぇ 」みたいなニュアンスの話を聞くことがしばしばありました。僕の知人で、京都大学を中退後、現在は優秀なエンジニアとしてゴリゴリ最前線で働いている方も「ずっと数学をやっていたかったけど、 数学をやるには全部捨てなきゃ無理だな と思って諦めた」みたいなことを言っており、がぜん「 数学者ってどんな人なんだろう 」と興味が湧いたわけです。 そこで今
サンクトペテルブルクのパラドックス - Wikipedia
ダニエル・ベルヌーイ サンクトペテルブルクのパラドックス (St. Petersburg paradox) は、意思決定理論におけるパラドックスの一つである。極めて少ない確率で極めて大きな利益が得られるような事例では、期待値が発散する場合があるが、このようなときに生まれる逆説である。サンクトペテルブルクの賭け、サンクトペテルブルクの問題などとも呼ばれる。「サンクトペテルブルク」の部分は表記に揺れがある。 1738年、サンクトペテルブルクに住んでいたダニエル・ベルヌーイが、学術雑誌『ペテルブルク帝国アカデミー論集』の論文「リスクの測定に関する新しい理論」で発表した。その目的は、期待値による古典的な「公平さ」が現実には必ずしも適用できないことを示し、「効用」（ラテン語: emolumentum）についての新しい理論を展開することであった。 パラドックスの内容[編集] 偏りのないコイン[注釈 1
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累乗の和の公式|思考力を鍛える数学
「１×１＝１」はなぜか？～ペアノの自然数論２（掛け算） - テンメイのＲＵＮ＆ＢＩＫＥ
やたらすごい素数 - INTEGERS
