未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明 京大の望月教授 斬新・難解で査読に8年 | 毎日新聞
未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明したとする望月新一・京都大数理解析研究所教授（51）の論文が、同所が編集する数学専門誌に掲載されることが決まった。3日、京大が発表した。ABC予想は、素因数分解と足し算・かけ算との関係性を示す命題のこと。4編計646ページからなる論文は、斬新さと難解さから査読（論文の内容チェック）に8年かかったが、その正しさが認められることになった。有名な数学の難問「フェルマーの最終定理」（1995年解決）や「ポアンカレ予想」（2006年解決）の証明などと並ぶ快挙となる。【阿部周一、松本光樹】 望月教授は2012年8月、構想から10年以上かけた「宇宙際タイヒミューラー（IUT）理論」の論文4編を、インターネット上で公開した。これを用いればABC予想など複数の難問が証明できると主張し、大きな注目を集めたが、既存の数学が存立する枠組み（宇宙）を複数考えるという構想は
ディープラーニングは最低限の数学で分かる
作っている雑誌で、これまで何度も取り上げてきた人工知能（AI）。中でも中核と言える「ディープラーニング」を、先日、数学的にちゃんと理解できて感動した、という話である。 今更と思われた読者もいるかもしれないが、数式を追って結論にたどり着いたとき、思わず「おお、分かった！」と声を上げてしまった。基本が分かると、関連する技術も結構すらすら理解できるようになって少々驚いている。 筆者は、PC用LinuxやPCボード「Raspberry Pi（ラズパイ）」を主題とするホビー向けの雑誌を作っている。AIは既に身近な存在になり、フリーソフトで顔認識をしたり、便利なAIフレームワークを使えば数行のPythonプログラムで機械学習ができたりする。そんな記事をもう数十本は企画して、執筆してもらってきた。 しかし、機械学習やディープラーニングの仕組みを自分で理解していたかというと、「何となくは」としか言えなかっ
フーリエ変換は自然現象を捉えるのに便利である
前回記事フーリエ変換とは無限次元空間の直交分解のひとつであるでは、 三角関数の族は関数空間の正規直交基底になっているよ！ フーリエ変換はそれらへの直交分解だよ！ ということを説明しました。 今回はさらに、 フーリエ変換は自然現象を捉えるのに役に立つよ！！ ということを説明していきたいと思います。 フーリエ変換で熱の拡散を捉えてみよう 明日の東京の気温はどれくらいだろうか？ エアコンはどこに置くと冷却効率がよいだろうか？ アツアツの鍋はどれくらい待てば持てるようになるだろうか？ 今の状態から、将来の温度の様子がわかりたいですよね. 今回はその中でも単純な, 電熱線がどう冷めていくか？ということを考えていきます. 高さを温度としたときの熱拡散のアニメーションは, こんな感じです. 熱の拡散が満たすであろう法則を数式に直すと, 次のような微分方程式がモデルとして得られます. \begin{equ
三角関数は何に使えるのか 〜 サイン・コサイン・タンジェントの活躍 〜 - Qiita
「他にこんなのがある」というのがあったら是非いっぱい教えてください！ 歴史的に最も古くからある用途は「測量」でしょう。三角関数誕生のキッカケはまさに測量の必要性にありました。比較的日常生活でも見る機会がありそうな用途でしょうか。 ログハウス ケーキカット 震災時の家の傾き推定 現代では「波」としての用途が多いでしょうか。Twitter での様々な人のコメントを見ていても、 おっぱい関数 jpeg 画像 音声処理 といった具合に、波に関する話がかなり多いイメージです。これらの三角関数の使われ方を特集してみます。様々な分野に共通する三角関数の使い方のエッセンスを抽出したつもりですが、これでもかなり分量が多くなりました。摘み食いするような感覚で読んでいただけたら幸いです。 2. 三角関数の 3 つの顔 最初に三角関数には大きく 3 つの定義があったことを振り返っておきます。以下の記事にとてもよく
ニュースの社会科学的な裏側: 証明問題が苦手な中高生が読むとよさげな「定理のつくりかた」
数学書と言えば、定理の説明とその証明の組み合わせが続く如何にもと言う内容のものが典型だが、定理が導き出されるまでの模索について説明されることは少ない。学術史的に動機が説明される事はあるが、数学者がどのような試行錯誤を行なっているのかは、大学院に進学して教員に指導されてみないと中々見えない世界であろう。 『定理のつくりかた』は高校生に数学研究の進め方、考え方を説明した公開講座の内容を膨らませた本で、著者の数学研究の方法を中学校で教わる範囲の数学を例に説明してくれる。著者は自分の研究の進め方が普遍的なものとは限らないことを注意喚起していたが、褒める数学者はいても、疑念を挟む数学者はまだいないようなので、少なくともオーソドックスな方法の説明になっていると思う。 学習教材としてみると、証明問題の解き方の本になる。問題と言うか命題を理解し、証明をしていく道筋を模索する方法が説明されているので、証明問
【プレスリリース】世界に1つだけの三角形の組 －抽象現代数学を駆使して素朴な定理の証明に成功－ | 日本の研究.com
慶應義塾大学大学院理工学研究科 KiPAS 数論幾何グループの平川義之輔（博士課程 3 年）と松村英樹（博士課程 2 年）は、『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が（相似を除いて）たった 1 組しかない』という、これまで知られていなかった定理の証明に成功しました。 線の長さや図形の面積は、私たちの身の回りにあるものを測量する際に欠かせない基本的な「幾何学」的対象です。例えば、辺の長さが 3、4、5 の直角三角形は教科書でもおなじみの図形ですが、辺の長さが全て「整数」となる直角三角形はどのくらいあるか？という問題は、古代ギリシャ時代に研究がなされた重要な問題でした。この流れを汲んで 20 世紀に大きく発展した現代数学の一分野が「数論幾何学」です。 本研究では、数論幾何学における「p 進 Abel 積分論」と「有理点の降下法」を応用するこ
Wolfram|Alpha: 世界の知識を計算可能にする
Wolframの画期的なアルゴリズム，知識ベース，AIテクノロジーを使って， 専門家レベルの答を計算しましょう数学 ›ステップごとの解説高等学校 数学中学数学小学校算数初歩的な計算代数プロットとグラフィックス微積分と解析その他 »科学・テクノロジー ›Units & MeasuresPhysicsChemistryEngineeringComputational SciencesEarth SciencesMaterialsTransportationその他 »社会・文化 ›PeopleArts & MediaDates & TimesWords & LinguisticsMoney & FinanceFood & NutritionPolitical GeographyHistoryその他 »日常生活 ›Personal HealthPersonal FinanceSurprisesEn
なぜ数を「0」で割ってはいけないのか？
数学の世界では、ルールを変えれば奇妙な答えであっても存在することが可能になります。しかし、「数をゼロで割るな」というルールは、多くの場合「破ってはいけないもの」と言われます。なぜ「ゼロで割るな」というルールを破るべきではないのかを、アニメーションでわかりやすく解説したムービーが公開中です。 Why can't you divide by zero? - TED-Ed - YouTube 「数をゼロで割るな」というルールが説かれるのは、ゼロの性質ゆえ。基本的に、「10÷2＝5」「10÷1＝10」のように、ある数を小さな数で割るほど、解は大きくなります。 この関係性をグラフにするとこんな感じ。縦軸を商、横軸を「10を割る数」で表すと、割る数がゼロに近づくほど商が大きくなっており、10をゼロで割ると商が無限大になるかのように思えます。 しかし、実際には「10÷0」は無限大ではありません。 このこ
ある数が「○の倍数か」を見分けるための“万能”な方法
ある数が割り切れるかどうか、つまりnの倍数であるかどうかを知りたい場面は結構たくさんある。分数を約分するときや、身近なところだと割り勘を計算するときなどだ。 場面の多さに比して、ふつう倍数の判定は難しい。例えば「64811は11の倍数か？」に瞬時に答えられる人はそう多くないはずだ。 ただし、いくつかの小さい整数に対しては、その倍数に関する法則が広く知られていて簡単に見分けられることがある。 例えば、2の倍数なら必ず一の位は2の倍数（偶数）になる。3の倍数であれば、各桁の数字を足し合わせると和が3の倍数になる（例：357→3+5+7＝15は3の倍数）。特に3の倍数の判定法は簡単なので知っておくと便利だ。 ほかのいくつかの素数に対しても、簡単な判定法があるので以下の画像にまとめてみた。また、合成数の判定はこれらを組み合わせて行えばよい（例えば6の倍数は2と3どちらの倍数でもあることを判定するこ
半角/二倍角の公式の覚え方は「覚えない事」!?その重要な意味と方法
三角関数の公式を丸暗記していませんか？ タイトルで??となった人も多いのではないでしょうか。多くの人が”語呂合わせ”などの色々な工夫をして、三角関数の（それも沢山の）公式を覚えようとします。 この記事はそんな『公式を覚えるのに苦労している』人に向けて書いています。 実際のところ、最もはやく、正確に公式を覚える方法は、「一回一回加法定理から導き出す事」なのです。 めんどくさそうに思うかもしれませんが、導出を繰り返しているうちに『勝手に覚えてしまう』ので、重要な試験などの時までには自然と使いこなせるようになっています。 さらに、もし『ど忘れ』してしまっても『導き方』さえ知っていれば、その場で再び公式を作り出す事ができるのです。 ぜひこの記事を最後まで読んでみてください。そして何度か手を動かしてみれば『丸暗記』の必要がない状態になっているはずです。 二倍角/三倍角/半角の公式と三角関数で一番大切
ベクトルの一次独立って何?「わかった!」を増やします~数bベクトル
そもそも一次独立ってなんなんだ！？言葉の意味も分からん、、、 一次独立というものが良く分からずベクトルに苦手意識を持ってしまう人が沢山います。 しかし、最低限のベクトルの知識があれば一次独立自体はとても単純です。 ベクトルとは 簡単にベクトルのおさらいをしておきます。ベクトルは、これまで学んできた数(スカラーと言います)と異なり、「向き」と「大きさ」を持っています。 今から説明する３つの事は一次独立を理解するにあたって大切な事なので、ここでも解説しますが それぞれ詳細な解説ページを作ってあるので、ぜひそちらも参照して下さい！ そして、今回の内容と関わりの大きいものとして、 （１）零(ゼロ)ベクトル （２）ベクトルの足し算、 更に、一次独立の定義にかかわる重要な事として （３）ベクトルの成分表示が挙げられます。 零(ゼロ)ベクトルとは その名の通り、大きさ＝長さが0のベクトルの事です。 ベク
「集合と位相」をなぜ学ぶのか ―数学の基礎として根づくまでの歴史 | Gihyo Digital Publishing … 技術評論社の電子書籍
概要 抽象的でわかりづらいと評判のよくない因果な科目「集合と位相」。そもそもいったいなぜこんなことを学ぶの？ 本書を読めば「集合と位相」に刻まれた数学者たちの創意工夫，そして数学の発展の過程がみるみる見えてきます。 こんな方におすすめ 「集合と位相」の授業でつらい思いをしている学生の方現代数学に興味がある一般の方 目次 第1章 フーリエ級数と「任意の関数」 1.1 フーリエの時代 1.2 熱伝導方程式とフーリエ級数 1.3 フーリエ級数の実例 1.4 フーリエの理論の問題点 第2章 積分の再定義 2.1 式としての関数: 18世紀まで 2.2 ディリクレの定理 2.3 リーマン積分 2.4 積分可能性をめぐる混乱 第3章 実数直線と点集合 3.1 点集合 3.2 実数の連続性の3つの表現 3.3 実数は可算でない 第4章 平面と直線は同じ大きさ？ 4.1 集合の用語と記号 4.2 集合とそ
『ウィトゲンシュタインの講義 数学の基礎篇』はスゴ本
ウィトゲンシュタインの本のなかで、これが最も分かりやすい＆面白い（当社比）。 数学という存在を、人の知性の産物である「発明」と捉える人がいる。いっぽうで、人が見出した世界の本質である「発見」と見なす人がいる。この議論は、[『神は数学者か』はスゴ本]にて語ったが、いずれの場合にせよ、数学の限界が（仮に）あるとしたならば、それは人の理性の限界であることは了解していただけるだろう。なぜなら、「発明」であれ「発見」であれ、主語が人である限り、その限界も人に属するからである。 ウィトゲンシュタインの講義は、数学の限界を見極める一方で、数学の底（もともとの了解事項）を明らかにしてくれる。 数学の底？ そんなのユークリッド幾何学やヒルベルトの基礎付けを見るまでもなく、「定義」と「形式」でしょうに（あるいはそこから定義づけられる公理系といってもいい）。本書を手にするまでは、そう考えていた。だが、「発明」で
日本の中心はどの県だ？グラフ理論（ネットワーク）の基本的な諸概念 - アジマティクス
Ｑ：これは何の構造を表しているでしょう？ グラフ理論 上の構造のように、頂点（ノードともいいます）の集まりと、２つの頂点をつなぐ辺（エッジともいいます）の集まりでできたもののことを「グラフ」あるいは「ネットワーク」と呼び*1、このような構造を研究する分野こそが「グラフ理論（Graph theory）」です。今回はそんなグラフを使うと、身近なものの新たな側面が見えてくる話。 （余談ですが「グラフ」という用語は、数学だと関数のグラフとか円グラフみたいなやつもあって検索精度が悪いです。グラフ理論に関してわからないことがあった場合に「グラフ ○○」や「グラフ理論 ○○」とググるよりも、「ネットワーク ○○」とググったほうが得たい情報にリーチしやすいというライフハックが知られています） さて、冒頭のグラフです。グラフ理論の知識なんかひとつもなくても、このグラフから読み取れることはいくつもあります。例
「史上最大の素数」約2年ぶりに更新、50番目のメルセンヌ素数で桁数は2324万9425桁
by jon jordan 新たなメルセンヌ素数を探している「グレート・インターネット・メルセンヌ数検索(GIMPS)」が、既知の素数として最大のものとなる50番目のメルセンヌ素数を見つけました。新たな素数は「2 77,232,917-1」で、「M77232917」と呼ばれています。 50th Known Mersenne Prime Discovered https://www.mersenne.org/primes/press/M77232917.html メルセンヌ素数とは、「2のべき乗より1小さい自然数」であるメルセンヌ数の中でも素数のものを指します。 GIMPSによると50番目のメルセンヌ素数「M77232917」は2324万9425桁の数字で、これまで最長だった49番目のメルセンヌ素数「M74207281」の2233万8618桁と比べて、約100万桁大きくなっています。 以下の
読書メモ：Mathematics Ｗithout Apologies（by M. Harris）…数学者のパトスとは？ - 重ね描き日記（rmaruy_blogあらため）
Mathematics Without Apologies: Portrait of a Problematic Vocation (Science Essentials) 作者: Michael Harris 出版社/メーカー: Princeton Univ Pr 発売日: 2015/01/18 メディア: ハードカバー この商品を含むブログを見る マイケル・ハリス（Micheal Harris）は、アメリカ出身、フランス在住の数学者。専門は数論で、Wikipediaによると「ラングランズ・プログラムに重要な貢献をした」人物だそうだ。本書は、その彼が「数学者にとっての数学とはどんなものか」について、非数学者に向けて説明を試みた1冊となっている。 興味をそそられるテーマだが、私には難しかった。一文が長い英文の読解難度の高さに加えて、起承転結がハッキリとしない書き方や、なじみのない欧米文化の
最古の「ゼロ」文字、3～4世紀のインド書物に 英大学が特定
バクシャーリー写本の拡大写真。一番下の行にある点が、現在使われている数字「0（ゼロ）」の起源となった。オックスフォード大学ボドリアン図書館提供。(c)Bodleian Libraries, University of Oxford 【9月16日 AFP】3～4世紀のインドの書物に記された黒い点が、数字の「0（ゼロ）」の最古の使用例であることを、英オックスフォード大学（University of Oxford）のチームが特定した。 この書物は、1881年に現パキスタン国内に位置する村で発掘されたカバノキの樹皮の巻物で、発見場所の村の名前にちなみ「バクシャーリー（Bakhshali）写本」と呼ばれている。1902年からオックスフォード大学のボドリアン図書館（Bodleian Libraries）で保管されてきた。 バクシャーリー写本は、すでにインド最古の数学書であるとされていたものの、その年代
【暗記しない数学】図形で理解するユークリッドの互除法｜迫佑樹オフィシャルブログ
今回は，ユークリッドの互除法を図形を使って視覚的に理解してみましょう！ Twitterのフォロワーさんが教えてくれたネタで，感動したので許可を取って当ブログで紹介させていただきます． 「ユークリッド互除法ってなんだっけ？」って方もご心配なく．はじめにしっかり復習してから，図形的理解を試みてみます． では，行ってみましょう!! ユークリッドの互除法の復習 まず，高校1年生の数学で習うユークリッドの互除法とはなんだったかを復習してみましょう． ユークリッドの互除法とは，簡単に最大公約数を求めることが出来る方法のことです ある2つの数字が与えられた時に，その両方をキレイに割り切ることができる数字の中で一番大きいものを最大公約数というのでした． 例えば，28と20の最大公約数は，4になります． さて，それでは次に，この最大公約数をユークリッドの互除法で求めてみましょう． 28と20の最大公約数を求
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